A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

118 III. POTENSRÆKKER
(b) ∞
a g(x)dx divergent ⇒ ∞
a
f(x)dx divergent.
2. Talfølger og rækker
2.1. Oversigt ☞ [S] 8.1, 8.2
Nøgleord og begreber
✌ Grænseværdi af talfølge
✌ Test grænseværdi
✌ Monotone og begrænsede talfølger
✌ Talrække og afsnitssum
✌ Konvergente rækker har små led
✌ Regneregler
2.2. Grænse for talfølge ☞ [S] 8.1 Sequences
1 Definition
En talfølge {an} har grænseværdi L
lim
n→∞ an = L
Hvis an kommer vilkårligt tæt på L, når n er tilstrækkeligt stor.
Skrives også
an → L når n → ∞
Følgen kaldes da konvergent og i modsat fald divergent.
2.3. Grænse tydeligere ☞ [S] 8.1 Sequences
Definition præcis
En talfølge {an} har grænseværdi L
Hvis der for ethvert ǫ > 0 findes et tal N så
lim
n→∞ an = L
|an − L| < ǫ for n > N
2.4. Simpel følge ☞ [S] 8.1 Sequences
Eksempel
Talfølgen {an}
an = n
n + 1
har grænseværdi
For ǫ > 0 er
når n > ǫ −1 .
n
lim = 1
n→∞ n + 1
| n 1
− 1| = < ǫ
n + 1 n + 1
2.5. Funktion af talfølge ☞ [S] 8.1 Sequences
2 Sætning
Hvis limx→∞ f(x) = L og an = f(n), så
lim
n→∞ an = L