A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

116 III. POTENSRÆKKER
og divergent for p ≤ 1.
1.21. Test uegentlig integral ☞ [S] 5.10 Improper integrals
Test ∞
2
Integralet 3√ dx er konvergent.
x
Løsning
1
t
2x −1/3 dx =
(Alternativt p = 1/3 < 1 i Eksempel 4)
1
3x 2/3 t
→ ∞
for t → ∞
1
= 3t 2/3 − 3
Afkryds:
ja nej
1.22. Uendelige funktioner
3 Definition
☞ [S] 5.10 Improper integrals
Det uegentlige integral er konvergent, hvis grænseværdien findes; i modsat fald divergent.
b
(a)
f(x)dx = lim
t→b− t
f(x)dx
(b)
(c)
a
b
a
f(x)dx = lim
t→a +
a
b
f(x)dx
b c b
f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx
a
a
1.23. Uendelige funktioner ☞ [S] 5.10 Improper integrals
Eksempel (1)
Det uegentlige integral
er divergent.
1
0
1
dx = lim
x t→0 +
1
t
1
x
= lim −ln t = ∞
t→0 +
t
c
dx = lim [lnx]1
t→0 + t
1.24. Uendelige funktioner ☞ [S] 5.10 Improper integrals
Eksempel (1)
Det uegentlige integral
1
er konvergent.
0
1
√ x dx = lim
t→0 +
1
t
= lim
t→0 +
2 √ t − 2 = 2
x −1/2 dx = lim
t→0 +
2x 1/2 1
t
1.25. Uendelige funktioner ☞ [S] 5.10 Improper integrals