A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

1. L’HOSPITALS REGEL OG UEGENTLIGE INTEGRALER 113
1.9. Prøv reglen ☞ [S] 4.5 Indeterminate forms and l’Hospital’s rule
Eksempel (6)
er ubestemt af form ∞
∞ .
Heraf fås
lim
x→0
ln |x|
lim
x→0 x−1 f(x) = ln |x|,f ′ (x) = |x| −1
g(x) = x −1 ,g ′ (x) = −x −2
ln |x|
= lim
x−1 x→0
|x| −1 x
= lim −x = 0
−x−2 x→0 |x|
1.10. Brug reglen ☞ [S] 4.5 Indeterminate forms and l’Hospital’s rule
Eksempel 1
ln(x)
lim
x→1 x − 1
ubestemt af form 0
0 .
Heraf fås
f(x) = ln(x),f ′ (x) = x −1
g(x) = x − 1,g ′ (x) = 1
ln(x) x
lim = lim
x→1 x − 1 x→1
−1
= 1
1
1.11. Brug reglen ☞ [S] 4.5 Indeterminate forms and l’Hospital’s rule
Eksempel 2
ubestemt af form ∞
∞ .
Heraf fås
e
lim
x→∞
x
x2 f(x) = e x ,f ′ (x) = e x ,f ′′ )x) = e x
g(x) = x 2 ,g ′ (x) = 2x,g ′′ (x) = 2
lim
x→∞
ex e
= lim
x2 x→∞
x e
= lim
2x x→∞
x
= ∞
2
1.12. Øvelse ☞ [S] 4.5 Indeterminate forms and l’Hospital’s rule
Eksempel 9
lim
x→0 +
x x
omformes ved
Fra eksempel følger
ln( lim
x→0 +
x x ) = lim
x→0 +
xln(x) = lim
x→0 +
ln(x)
x−1 lim
x→0 +
x x = exp( lim
x→0 +
ln(x)
x−1 ) = e0 = 1
1.13. Test l’Hospitals regel ☞ [S] 4.5 Indeterminate forms and l’Hospital’s rule
Test
x
lim
x→0 sinx
(a) −1. (b) 0. (c) 1.