A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

112 III. POTENSRÆKKER
kaldes ubestemt af form ∞
∞ .
Eksempel
er ubestemt af form ∞
∞ .
ln |x|
lim
x→0 x−1 1.5. l’Hospitals regel 1 ☞ [S] 4.5 Indeterminate forms and l’Hospital’s rule
Sætning (l’Hospitals regel)
Antag, at f,g er differentiable og g ′ (x) = 0 for x = a tilpas nœr a. Hvis
er et ubestemt udtryk af form 0
0 , så er
f(x)
lim
x→a g(x)
f(x) f
lim = lim
x→a g(x) x→a
′ (x)
g ′ (x)
1.6. Overbevis ☞ [S] 4.5 Indeterminate forms and l’Hospital’s rule
Bevis
Fra den udvidede middelværdisætning
Beregn nu
f(x)g ′ (x ∗ ) = f ′ (x ∗ )g(x), a < x ∗ < x
f(x) f
lim = lim
x→a g(x) x→a
′ (x∗ )
g ′ (x∗ f
= lim
) x→a
′ (x)
g ′ (x)
1.7. Prøv reglen ☞ [S] 4.5 Indeterminate forms and l’Hospital’s rule
Eksempel
ubestemt af form 0
0 .
Heraf fås
x
lim
x→1
2 − 1
x − 1
f(x) = x 2 − 1,f ′ (x) = 2x
g(x) = x − 1,g ′ (x) = 1
x
lim
x→1
2 − 1 2x
= lim = 2
x − 1 x→1 1
1.8. l’Hospitals regel 2 ☞ [S] 4.5 Indeterminate forms and l’Hospital’s rule
Sætning (l’Hospitals regel)
Antag, at f,g er differentiable og g ′ (x) = 0 for x = a tilpas nœr a. Hvis
er et ubestemt udtryk af form ∞
∞ , så er
f(x)
lim
x→a g(x)
f(x) f
lim = lim
x→a g(x) x→a
′ (x)
g ′ (x)