A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

1. KONTINUITET 11
1.14. Udvid til mange variable ☞ [S] 11.1 Functions of several variables
Eksempel 11
Omtalen af funktioner i to variable udvides umiddelbart til tre eller flere variable.
Udtrykket
f(x,y,z) = ln(z − y) + xy sin(z)
er en funktion i tre variable, defineret på definitionsmængden
Værdimængden er
D = {(x,y,z) ∈ R 3 |z > y}
f(D) = R
1.15. Goddag igen til grænseværdier ☞ [S] 11.2 Limits and continuity
1 Definition
Grænseværdien af f(x,y) i et punkt (a,b) skrives
eller
lim f(x,y) = L
(x,y)→(a,b)
f(x,y) → L for (x,y) → (a,b)
når f antager værdier vilkårligt tæt på L, bare (x,y) er tilstrækkeligt tæt på (a,b).
1.16. Helt præcist ☞ [S] Appendix D - Functions of two variables
5 Definition
Grænseværdien
lim f(x,y) = L
(x,y)→(a,b)
eksisterer, hvis
∀ǫ > 0 ∃δ > 0 :
(x − a) 2 + (y − b) 2 < δ ⇒ |f(x,y) − L| < ǫ
1.17. Ingen grænseværdi ☞ [S] 11.2 Limits and continuity
Eksempel 1
f(x,y) = x2 − y 2
x 2 + y 2
har ingen grænseværdi for (x,y) → (0,0).
Løsning
f(x,0) = 1,x = 0
f(0,y) = −1,y = 0
1.18. Regneregler som forventet ☞ [S] 2.3 Calculating limits using the. . .
Regneregler
(1) Grænseværdien af en sum er summen af grænseværdierne.
(2) Grænseværdien af en differens er differensen af grænseværdierne.
(3) Grænseværdien af en konstant gange en funktion er konstanten gange grænseværdien.
(4) Grænseværdien af et produkt er produktet af grænseværdierne.
(5) Grænseværdien af en kvotient er kvotienten af grænseværdierne.