A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

104 II. INTEGRATION
4.16. Integral over en cirkelring ☞ [S] 12.4 Double integrals in polar . . .
Eksempel 1 - fortsat
(3x + 4y
R
2 π 2
)dA = (3r cos θ + 4r
0 1
2 sin 2 θ)rdr dθ
π 3 4 2 r=2
= r cos θ + r sin θ
r=1
0
dθ
π
= (7cos θ + 15sin
0
2 θ)dθ
π
= (7cos θ +
0
15
(1 − cos 2θ))dθ
2
= 7sin θ + 15
θ=π (2θ − sin 2θ)
4 θ=0
= 15
2 π
4.17. Integral over en cirkelskive ☞ [S] 12.4 Double integrals in polar . . .
Eksempel 2
Toppen af et æg
{(x,y,z)|x 2 + y 2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 − x 2 − y 2 }
beskrives i "cylinder" koordinater ved
Det er
x = r cos θ, y = r sinθ
{(r,θ,z)|0 ≤ r ≤ 1,0 ≤ z ≤ 1 − r 2 }
4.18. Top ☞ [S] 12.4 Double integrals in polar coordinates
Eksempel 2 - figur
x
z
{(r,θ,z)|0 ≤ r ≤ 1,0 ≤ z ≤ 1 − r 2 }
4.19. Integral over en cirkelskive ☞ [S] 12.4 Double integrals in polar . . .
Eksempel 2 - fortsat
Volumenet er et integral af funktionen
på cirkelskiven
f(x,y) = 1 − x 2 − y 2
R = {(x,y)|x 2 + y 2 ≤ 1}
1
y