Fire-farve Sætningen
Fire-farve Sætningen
Fire-farve Sætningen
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong> <strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
F2009
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Mark Twain - Tom Sawyer Abroad - 1894 - Tom<br />
og Huck er p˚a ballonfærd<br />
”... if we was going so fast we ought to be past Illinois,<br />
oughtn’t we?”<br />
”Certainly.”<br />
”Well, we ain’t.”<br />
”What’s the reason we ain’t?”<br />
”I know by the color. We’re right over Illinois yet. And<br />
you can see for yourself that Indiana ain’t in sight.”<br />
”I wonder what’s the matter with you, Huck. You<br />
know by the COLOR?”<br />
”Yes, of course I do.”<br />
”What’s the color got to do with it?”<br />
”It’s got everything to do with it. Illinois is green,<br />
Indiana is pink. You show me any pink down here, if you<br />
can. No, sir; it’s green.”<br />
”Indiana PINK? Why, what a lie!”<br />
”It ain’t no lie; I’ve seen it on the map, and it’s pink.”
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
1866 Johnson Map of the United States
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Er 4 <strong>farve</strong>r nok?
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
4-<strong>farve</strong> <strong>Sætningen</strong><br />
Sætning (4CT): Ethvert kort kan 4-<strong>farve</strong>s.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort, grafer og farvninger<br />
Plane grafer og Eulers formel<br />
Reducerbare konfigurationer<br />
Kempekæder<br />
Afladning og uundg˚aelige konfigurationer<br />
Beviserne<br />
Kort p˚a andre overflader<br />
Generaliseringer
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort, grafer og farvninger<br />
Plane grafer og Eulers formel<br />
Reducerbare konfigurationer<br />
Kempekæder<br />
Afladning og uundg˚aelige konfigurationer<br />
Beviserne<br />
Kort p˚a andre overflader<br />
Generaliseringer
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort, grafer og farvninger<br />
Plane grafer og Eulers formel<br />
Reducerbare konfigurationer<br />
Kempekæder<br />
Afladning og uundg˚aelige konfigurationer<br />
Beviserne<br />
Kort p˚a andre overflader<br />
Generaliseringer
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort, grafer og farvninger<br />
Plane grafer og Eulers formel<br />
Reducerbare konfigurationer<br />
Kempekæder<br />
Afladning og uundg˚aelige konfigurationer<br />
Beviserne<br />
Kort p˚a andre overflader<br />
Generaliseringer
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort, grafer og farvninger<br />
Plane grafer og Eulers formel<br />
Reducerbare konfigurationer<br />
Kempekæder<br />
Afladning og uundg˚aelige konfigurationer<br />
Beviserne<br />
Kort p˚a andre overflader<br />
Generaliseringer
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort, grafer og farvninger<br />
Plane grafer og Eulers formel<br />
Reducerbare konfigurationer<br />
Kempekæder<br />
Afladning og uundg˚aelige konfigurationer<br />
Beviserne<br />
Kort p˚a andre overflader<br />
Generaliseringer
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort, grafer og farvninger<br />
Plane grafer og Eulers formel<br />
Reducerbare konfigurationer<br />
Kempekæder<br />
Afladning og uundg˚aelige konfigurationer<br />
Beviserne<br />
Kort p˚a andre overflader<br />
Generaliseringer
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort, grafer og farvninger<br />
Plane grafer og Eulers formel<br />
Reducerbare konfigurationer<br />
Kempekæder<br />
Afladning og uundg˚aelige konfigurationer<br />
Beviserne<br />
Kort p˚a andre overflader<br />
Generaliseringer
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort, grafer og farvninger<br />
Plane grafer og Eulers formel<br />
Reducerbare konfigurationer<br />
Kempekæder<br />
Afladning og uundg˚aelige konfigurationer<br />
Beviserne<br />
Kort p˚a andre overflader<br />
Generaliseringer
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Historie<br />
1852 Francis Guthrie formulerede problemet<br />
1879 Alfred Bay Kempe publicerede et bevis<br />
1890 Percy John Heawood fandt en fejl i beviset<br />
1913 George David Birkhoff indførte reducerbarhed<br />
1969 Heinrich Heesch indførte afladning<br />
1976 Appel & Haken gav det første bevis<br />
1996 Robertson et. al. gav et bedre bevis<br />
2004 Gonthier: Formaliseret computer-checked bevis
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Historie<br />
1852 Francis Guthrie formulerede problemet<br />
1879 Alfred Bay Kempe publicerede et bevis<br />
1890 Percy John Heawood fandt en fejl i beviset<br />
1913 George David Birkhoff indførte reducerbarhed<br />
1969 Heinrich Heesch indførte afladning<br />
1976 Appel & Haken gav det første bevis<br />
1996 Robertson et. al. gav et bedre bevis<br />
2004 Gonthier: Formaliseret computer-checked bevis
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Historie<br />
1852 Francis Guthrie formulerede problemet<br />
1879 Alfred Bay Kempe publicerede et bevis<br />
1890 Percy John Heawood fandt en fejl i beviset<br />
1913 George David Birkhoff indførte reducerbarhed<br />
1969 Heinrich Heesch indførte afladning<br />
1976 Appel & Haken gav det første bevis<br />
1996 Robertson et. al. gav et bedre bevis<br />
2004 Gonthier: Formaliseret computer-checked bevis
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Historie<br />
1852 Francis Guthrie formulerede problemet<br />
1879 Alfred Bay Kempe publicerede et bevis<br />
1890 Percy John Heawood fandt en fejl i beviset<br />
1913 George David Birkhoff indførte reducerbarhed<br />
1969 Heinrich Heesch indførte afladning<br />
1976 Appel & Haken gav det første bevis<br />
1996 Robertson et. al. gav et bedre bevis<br />
2004 Gonthier: Formaliseret computer-checked bevis
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Historie<br />
1852 Francis Guthrie formulerede problemet<br />
1879 Alfred Bay Kempe publicerede et bevis<br />
1890 Percy John Heawood fandt en fejl i beviset<br />
1913 George David Birkhoff indførte reducerbarhed<br />
1969 Heinrich Heesch indførte afladning<br />
1976 Appel & Haken gav det første bevis<br />
1996 Robertson et. al. gav et bedre bevis<br />
2004 Gonthier: Formaliseret computer-checked bevis
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Historie<br />
1852 Francis Guthrie formulerede problemet<br />
1879 Alfred Bay Kempe publicerede et bevis<br />
1890 Percy John Heawood fandt en fejl i beviset<br />
1913 George David Birkhoff indførte reducerbarhed<br />
1969 Heinrich Heesch indførte afladning<br />
1976 Appel & Haken gav det første bevis<br />
1996 Robertson et. al. gav et bedre bevis<br />
2004 Gonthier: Formaliseret computer-checked bevis
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Historie<br />
1852 Francis Guthrie formulerede problemet<br />
1879 Alfred Bay Kempe publicerede et bevis<br />
1890 Percy John Heawood fandt en fejl i beviset<br />
1913 George David Birkhoff indførte reducerbarhed<br />
1969 Heinrich Heesch indførte afladning<br />
1976 Appel & Haken gav det første bevis<br />
1996 Robertson et. al. gav et bedre bevis<br />
2004 Gonthier: Formaliseret computer-checked bevis
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Historie<br />
1852 Francis Guthrie formulerede problemet<br />
1879 Alfred Bay Kempe publicerede et bevis<br />
1890 Percy John Heawood fandt en fejl i beviset<br />
1913 George David Birkhoff indførte reducerbarhed<br />
1969 Heinrich Heesch indførte afladning<br />
1976 Appel & Haken gav det første bevis<br />
1996 Robertson et. al. gav et bedre bevis<br />
2004 Gonthier: Formaliseret computer-checked bevis
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Papers<br />
Periode Antal<br />
-1900 6<br />
1901-1910 3<br />
1911-1920 3<br />
1921-1930 23<br />
1931-1940 46<br />
1941-1950 11<br />
1951-1960 7<br />
1961-1970 22<br />
1971-1980 83<br />
1981-1990 82<br />
1991-2000 129<br />
2001- 83
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Grafteori<br />
Multipel kant<br />
Graf: G = (V , E), V :knuder, E:kanter, multiset af uordnede<br />
par af knuder (evt. ens)<br />
K3<br />
Loop
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Grafteori<br />
Farvning:<br />
K3<br />
Multipel kant<br />
f : V → {1, 2, . . . , k} s˚a {x, y} ∈ E ⇒ f (x) = f (y)<br />
Loop
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Grafteori<br />
Farvning:<br />
f : V → {1, 2, . . . , k} s˚a {x, y} ∈ E ⇒ f (x) = f (y)<br />
Findes kun hvis ingen loops
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Fra landkort til plane grafer<br />
Figur: Landkort
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Fra landkort til plane grafer<br />
Figur: Landkort
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Fra landkort til plane grafer<br />
Figur: Plan graf
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Fra landkort til plane grafer<br />
Figur: Triangulering
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Fra landkort til plane grafer<br />
Figur: 4-farvning
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong> <strong>Sætningen</strong><br />
Sætning (4CT): Enhver plan graf uden loops kan 4-<strong>farve</strong>s.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Det kromatiske tal<br />
χ(G): Det mindste antal <strong>farve</strong>r G kan <strong>farve</strong>s med.<br />
Kk ⊆ G ⇒ χ(G) ≥ k<br />
Træer kan <strong>farve</strong>s med kun 2 <strong>farve</strong>r.<br />
Erdös viste at der for alle k er grafer der ’lokalt’ ligner<br />
træer, men hvor χ(G) ≥ k.<br />
Ex. For k = 3 kan vi tage en vilk˚arlig lang ulige cykel.<br />
χ(G) ≤ 1 + ∆(G), hvor ∆(G) = max deg(v).<br />
4CT: Hvis G er plan, s˚a er χ(G) ≤ 4.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Det kromatiske tal<br />
χ(G): Det mindste antal <strong>farve</strong>r G kan <strong>farve</strong>s med.<br />
Kk ⊆ G ⇒ χ(G) ≥ k<br />
Træer kan <strong>farve</strong>s med kun 2 <strong>farve</strong>r.<br />
Erdös viste at der for alle k er grafer der ’lokalt’ ligner<br />
træer, men hvor χ(G) ≥ k.<br />
Ex. For k = 3 kan vi tage en vilk˚arlig lang ulige cykel.<br />
χ(G) ≤ 1 + ∆(G), hvor ∆(G) = max deg(v).<br />
4CT: Hvis G er plan, s˚a er χ(G) ≤ 4.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Det kromatiske tal<br />
χ(G): Det mindste antal <strong>farve</strong>r G kan <strong>farve</strong>s med.<br />
Kk ⊆ G ⇒ χ(G) ≥ k<br />
Træer kan <strong>farve</strong>s med kun 2 <strong>farve</strong>r.<br />
Erdös viste at der for alle k er grafer der ’lokalt’ ligner<br />
træer, men hvor χ(G) ≥ k.<br />
Ex. For k = 3 kan vi tage en vilk˚arlig lang ulige cykel.<br />
χ(G) ≤ 1 + ∆(G), hvor ∆(G) = max deg(v).<br />
4CT: Hvis G er plan, s˚a er χ(G) ≤ 4.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Det kromatiske tal<br />
χ(G): Det mindste antal <strong>farve</strong>r G kan <strong>farve</strong>s med.<br />
Kk ⊆ G ⇒ χ(G) ≥ k<br />
Træer kan <strong>farve</strong>s med kun 2 <strong>farve</strong>r.<br />
Erdös viste at der for alle k er grafer der ’lokalt’ ligner<br />
træer, men hvor χ(G) ≥ k.<br />
Ex. For k = 3 kan vi tage en vilk˚arlig lang ulige cykel.<br />
χ(G) ≤ 1 + ∆(G), hvor ∆(G) = max deg(v).<br />
4CT: Hvis G er plan, s˚a er χ(G) ≤ 4.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Det kromatiske tal<br />
χ(G): Det mindste antal <strong>farve</strong>r G kan <strong>farve</strong>s med.<br />
Kk ⊆ G ⇒ χ(G) ≥ k<br />
Træer kan <strong>farve</strong>s med kun 2 <strong>farve</strong>r.<br />
Erdös viste at der for alle k er grafer der ’lokalt’ ligner<br />
træer, men hvor χ(G) ≥ k.<br />
Ex. For k = 3 kan vi tage en vilk˚arlig lang ulige cykel.<br />
χ(G) ≤ 1 + ∆(G), hvor ∆(G) = max deg(v).<br />
4CT: Hvis G er plan, s˚a er χ(G) ≤ 4.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Det kromatiske tal<br />
χ(G): Det mindste antal <strong>farve</strong>r G kan <strong>farve</strong>s med.<br />
Kk ⊆ G ⇒ χ(G) ≥ k<br />
Træer kan <strong>farve</strong>s med kun 2 <strong>farve</strong>r.<br />
Erdös viste at der for alle k er grafer der ’lokalt’ ligner<br />
træer, men hvor χ(G) ≥ k.<br />
Ex. For k = 3 kan vi tage en vilk˚arlig lang ulige cykel.<br />
χ(G) ≤ 1 + ∆(G), hvor ∆(G) = max deg(v).<br />
4CT: Hvis G er plan, s˚a er χ(G) ≤ 4.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Det kromatiske tal<br />
χ(G): Det mindste antal <strong>farve</strong>r G kan <strong>farve</strong>s med.<br />
Kk ⊆ G ⇒ χ(G) ≥ k<br />
Træer kan <strong>farve</strong>s med kun 2 <strong>farve</strong>r.<br />
Erdös viste at der for alle k er grafer der ’lokalt’ ligner<br />
træer, men hvor χ(G) ≥ k.<br />
Ex. For k = 3 kan vi tage en vilk˚arlig lang ulige cykel.<br />
χ(G) ≤ 1 + ∆(G), hvor ∆(G) = max deg(v).<br />
4CT: Hvis G er plan, s˚a er χ(G) ≤ 4.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Det kromatiske polynomium<br />
χG (k) antal k-farvninger af G<br />
χG (x) ∈ Z[x].<br />
χCk (x) = (x − 1)k + (−1) k (x − 1)<br />
4CT: Hvis G er plan, s˚a er χG (4) > 0.<br />
Der er plane grafer med kromatiske rødder vilk˚arligt tæt<br />
p˚a 4.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Det kromatiske polynomium<br />
χG (k) antal k-farvninger af G<br />
χG (x) ∈ Z[x].<br />
χCk (x) = (x − 1)k + (−1) k (x − 1)<br />
4CT: Hvis G er plan, s˚a er χG (4) > 0.<br />
Der er plane grafer med kromatiske rødder vilk˚arligt tæt<br />
p˚a 4.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Det kromatiske polynomium<br />
χG (k) antal k-farvninger af G<br />
χG (x) ∈ Z[x].<br />
χCk (x) = (x − 1)k + (−1) k (x − 1)<br />
4CT: Hvis G er plan, s˚a er χG (4) > 0.<br />
Der er plane grafer med kromatiske rødder vilk˚arligt tæt<br />
p˚a 4.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Det kromatiske polynomium<br />
χG (k) antal k-farvninger af G<br />
χG (x) ∈ Z[x].<br />
χCk (x) = (x − 1)k + (−1) k (x − 1)<br />
4CT: Hvis G er plan, s˚a er χG (4) > 0.<br />
Der er plane grafer med kromatiske rødder vilk˚arligt tæt<br />
p˚a 4.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Det kromatiske polynomium<br />
χG (k) antal k-farvninger af G<br />
χG (x) ∈ Z[x].<br />
χCk (x) = (x − 1)k + (−1) k (x − 1)<br />
4CT: Hvis G er plan, s˚a er χG (4) > 0.<br />
Der er plane grafer med kromatiske rødder vilk˚arligt tæt<br />
p˚a 4.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Kant-farvninger<br />
Kort
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Kant-farvninger<br />
Kubisk plan graf
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Kant-farvninger<br />
01<br />
11<br />
00<br />
11<br />
10<br />
4-farvning<br />
01<br />
00
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Kant-farvninger<br />
1<br />
01<br />
2<br />
2<br />
1<br />
11<br />
3<br />
3<br />
00<br />
3<br />
2<br />
1<br />
11<br />
10<br />
01<br />
Kant farvning<br />
1<br />
3<br />
2<br />
00<br />
1<br />
2<br />
3
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Kant-farvninger<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
3<br />
3<br />
3<br />
2<br />
1<br />
Kant 3-farvning<br />
1<br />
3<br />
2<br />
1<br />
2<br />
3
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong> <strong>Sætningen</strong><br />
Sætning (4CT): Enhver plan kubisk graf uden broer kan<br />
3-kant-<strong>farve</strong>s.<br />
Tait formodning (1880): S˚adanne grafer har en Hamilton<br />
cykel.<br />
Det vil medføre 4CT.<br />
Tutte (1946): Modeksempel til Taits formodning.<br />
Sætning: Enhver kubisk graf uden broer og uden en minor<br />
isomorf med Petersen grafen kan 3-kant-<strong>farve</strong>s.<br />
N. Robertson, D. P. Sanders, P. D. Seymour and R.<br />
Thomas (5 papers).
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong> <strong>Sætningen</strong><br />
Sætning (4CT): Enhver plan kubisk graf uden broer kan<br />
3-kant-<strong>farve</strong>s.<br />
Tait formodning (1880): S˚adanne grafer har en Hamilton<br />
cykel.<br />
Det vil medføre 4CT.<br />
Tutte (1946): Modeksempel til Taits formodning.<br />
Sætning: Enhver kubisk graf uden broer og uden en minor<br />
isomorf med Petersen grafen kan 3-kant-<strong>farve</strong>s.<br />
N. Robertson, D. P. Sanders, P. D. Seymour and R.<br />
Thomas (5 papers).
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong> <strong>Sætningen</strong><br />
Sætning (4CT): Enhver plan kubisk graf uden broer kan<br />
3-kant-<strong>farve</strong>s.<br />
Tait formodning (1880): S˚adanne grafer har en Hamilton<br />
cykel.<br />
Det vil medføre 4CT.<br />
Tutte (1946): Modeksempel til Taits formodning.<br />
Sætning: Enhver kubisk graf uden broer og uden en minor<br />
isomorf med Petersen grafen kan 3-kant-<strong>farve</strong>s.<br />
N. Robertson, D. P. Sanders, P. D. Seymour and R.<br />
Thomas (5 papers).
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong> <strong>Sætningen</strong><br />
Sætning (4CT): Enhver plan kubisk graf uden broer kan<br />
3-kant-<strong>farve</strong>s.<br />
Tait formodning (1880): S˚adanne grafer har en Hamilton<br />
cykel.<br />
Det vil medføre 4CT.<br />
Tutte (1946): Modeksempel til Taits formodning.<br />
Sætning: Enhver kubisk graf uden broer og uden en minor<br />
isomorf med Petersen grafen kan 3-kant-<strong>farve</strong>s.<br />
N. Robertson, D. P. Sanders, P. D. Seymour and R.<br />
Thomas (5 papers).
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong> <strong>Sætningen</strong><br />
Sætning (4CT): Enhver plan kubisk graf uden broer kan<br />
3-kant-<strong>farve</strong>s.<br />
Tait formodning (1880): S˚adanne grafer har en Hamilton<br />
cykel.<br />
Det vil medføre 4CT.<br />
Tutte (1946): Modeksempel til Taits formodning.<br />
Sætning: Enhver kubisk graf uden broer og uden en minor<br />
isomorf med Petersen grafen kan 3-kant-<strong>farve</strong>s.<br />
N. Robertson, D. P. Sanders, P. D. Seymour and R.<br />
Thomas (5 papers).
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Petersen grafen<br />
Ingen 3-kant-farvning.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Hamiltoncykler<br />
Kubisk plan graf
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Hamiltoncykler<br />
Hamilton cykel
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Hamiltoncykler<br />
Farvning
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Hamiltoncykler<br />
3-Kant farvning
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Hamiltoncykler<br />
11<br />
01<br />
00 10<br />
01<br />
4-farvning
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Tutte’s modeksempel<br />
Ikke Hamiltonsk!
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Fra plane grafer til trianguleringer<br />
Det er nok at vise sætningen for plane trianguleringer<br />
Hver region har 3 sider<br />
Tilføj ekstra kanter til plan graf<br />
Fjern multiple kanter
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Fra plane grafer til trianguleringer<br />
Det er nok at vise sætningen for plane trianguleringer<br />
Hver region har 3 sider<br />
Tilføj ekstra kanter til plan graf<br />
Fjern multiple kanter
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Fra plane grafer til trianguleringer<br />
Det er nok at vise sætningen for plane trianguleringer<br />
Hver region har 3 sider<br />
Tilføj ekstra kanter til plan graf<br />
Fjern multiple kanter
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Fra plane grafer til trianguleringer<br />
Det er nok at vise sætningen for plane trianguleringer<br />
Hver region har 3 sider<br />
Tilføj ekstra kanter til plan graf<br />
Fjern multiple kanter
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Fra plane grafer til trianguleringer
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Fra plane grafer til trianguleringer
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Notation<br />
Region<br />
V = 6, E = 12, F = 8
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Notation<br />
Antal knuder: V<br />
Antal kanter: E<br />
Antal regioner, inkl. den ydre: F
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Notation<br />
Antal knuder: V<br />
Antal kanter: E<br />
Antal regioner, inkl. den ydre: F
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Notation<br />
Antal knuder: V<br />
Antal kanter: E<br />
Antal regioner, inkl. den ydre: F
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Euler’s formel<br />
For enhver sammenhængende plan graf er<br />
I en triangulering er<br />
V − E + F = 2<br />
3F = 2E<br />
(generelt 2E ≥ 3F , regioner har mindst 3 kanter)<br />
V − E + F = V − E/3 = 2 ⇒ E = 3V − 6<br />
Der findes knuder af grad højst 5:<br />
<br />
deg(v) = 2E = 6V − 12<br />
v∈V
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Euler’s formel<br />
For enhver sammenhængende plan graf er<br />
I en triangulering er<br />
V − E + F = 2<br />
3F = 2E<br />
(generelt 2E ≥ 3F , regioner har mindst 3 kanter)<br />
V − E + F = V − E/3 = 2 ⇒ E = 3V − 6<br />
Der findes knuder af grad højst 5:<br />
<br />
deg(v) = 2E = 6V − 12<br />
v∈V
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Euler’s formel<br />
For enhver sammenhængende plan graf er<br />
I en triangulering er<br />
V − E + F = 2<br />
3F = 2E<br />
(generelt 2E ≥ 3F , regioner har mindst 3 kanter)<br />
V − E + F = V − E/3 = 2 ⇒ E = 3V − 6<br />
Der findes knuder af grad højst 5:<br />
<br />
deg(v) = 2E = 6V − 12<br />
v∈V
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Euler’s formel<br />
For enhver sammenhængende plan graf er<br />
I en triangulering er<br />
V − E + F = 2<br />
3F = 2E<br />
(generelt 2E ≥ 3F , regioner har mindst 3 kanter)<br />
V − E + F = V − E/3 = 2 ⇒ E = 3V − 6<br />
Der findes knuder af grad højst 5:<br />
<br />
deg(v) = 2E = 6V − 12<br />
v∈V
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Obstruktioner for 3-farvning<br />
3 <strong>farve</strong>r er ikke nok.<br />
K4 er plan: Belgien, Luxembourg, Tyskland og Frankrig.<br />
5-ring: Nevada naboer: Oregon, Idaho, Utah, Arizona,<br />
Californien
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Obstruktioner for 3-farvning<br />
3 <strong>farve</strong>r er ikke nok.<br />
K4 er plan: Belgien, Luxembourg, Tyskland og Frankrig.<br />
5-ring: Nevada naboer: Oregon, Idaho, Utah, Arizona,<br />
Californien
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Grafer<br />
Det kromatiske<br />
tal<br />
Det kromatiske<br />
polynomium<br />
Kant farvninger<br />
Hamilton cykler<br />
Plane grafer og<br />
trianguleringer<br />
Euler’s formel<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Obstruktioner for 3-farvning<br />
3 <strong>farve</strong>r er ikke nok.<br />
K4 er plan: Belgien, Luxembourg, Tyskland og Frankrig.<br />
5-ring: Nevada naboer: Oregon, Idaho, Utah, Arizona,<br />
Californien
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Reducerbare<br />
konfigurationer<br />
Uundg˚aelige<br />
konfigurationer<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Reducerbare konfigurationer<br />
Konfiguration K: Plan graf plus indlejringsspecifikation.<br />
K er reducerbar hvis vi fra<br />
K ⊂ G<br />
Alle plane grafer G ′ mindre end G kan 4-<strong>farve</strong>s<br />
kan vise at G kan 4-<strong>farve</strong>s.<br />
Specielt kan et minimalt modeksempel ikke indeholde<br />
nogen reducerbar konfiguration.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Reducerbare<br />
konfigurationer<br />
Uundg˚aelige<br />
konfigurationer<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Reducerbare konfigurationer<br />
Konfiguration K: Plan graf plus indlejringsspecifikation.<br />
K er reducerbar hvis vi fra<br />
K ⊂ G<br />
Alle plane grafer G ′ mindre end G kan 4-<strong>farve</strong>s<br />
kan vise at G kan 4-<strong>farve</strong>s.<br />
Specielt kan et minimalt modeksempel ikke indeholde<br />
nogen reducerbar konfiguration.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Reducerbare<br />
konfigurationer<br />
Uundg˚aelige<br />
konfigurationer<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Reducerbare konfigurationer<br />
Konfiguration K: Plan graf plus indlejringsspecifikation.<br />
K er reducerbar hvis vi fra<br />
K ⊂ G<br />
Alle plane grafer G ′ mindre end G kan 4-<strong>farve</strong>s<br />
kan vise at G kan 4-<strong>farve</strong>s.<br />
Specielt kan et minimalt modeksempel ikke indeholde<br />
nogen reducerbar konfiguration.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Reducerbare<br />
konfigurationer<br />
Uundg˚aelige<br />
konfigurationer<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Reducerbare konfigurationer<br />
Konfiguration K: Plan graf plus indlejringsspecifikation.<br />
K er reducerbar hvis vi fra<br />
K ⊂ G<br />
Alle plane grafer G ′ mindre end G kan 4-<strong>farve</strong>s<br />
kan vise at G kan 4-<strong>farve</strong>s.<br />
Specielt kan et minimalt modeksempel ikke indeholde<br />
nogen reducerbar konfiguration.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Reducerbare<br />
konfigurationer<br />
Uundg˚aelige<br />
konfigurationer<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Reducerbare konfigurationer<br />
Konfiguration K: Plan graf plus indlejringsspecifikation.<br />
K er reducerbar hvis vi fra<br />
K ⊂ G<br />
Alle plane grafer G ′ mindre end G kan 4-<strong>farve</strong>s<br />
kan vise at G kan 4-<strong>farve</strong>s.<br />
Specielt kan et minimalt modeksempel ikke indeholde<br />
nogen reducerbar konfiguration.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Reducerbare<br />
konfigurationer<br />
Uundg˚aelige<br />
konfigurationer<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Reducerbare konfigurationer<br />
Konfiguration K: Plan graf plus indlejringsspecifikation.<br />
K er reducerbar hvis vi fra<br />
K ⊂ G<br />
Alle plane grafer G ′ mindre end G kan 4-<strong>farve</strong>s<br />
kan vise at G kan 4-<strong>farve</strong>s.<br />
Specielt kan et minimalt modeksempel ikke indeholde<br />
nogen reducerbar konfiguration.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Reducerbare<br />
konfigurationer<br />
Uundg˚aelige<br />
konfigurationer<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Uundg˚aelige konfigurationer<br />
En samling konfigurationer er<br />
Reducerbare: Minimalt modeksempel kan ikke indeholde<br />
nogen af disse.<br />
Uundg˚aelige: Minimalt modeksempel (...) vil indeholde en<br />
af disse.<br />
Findes s˚adan en samling kan der ikke findes et modeksempel.<br />
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong> sætningen er vist
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Reducerbare<br />
konfigurationer<br />
Uundg˚aelige<br />
konfigurationer<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Uundg˚aelige konfigurationer<br />
En samling konfigurationer er<br />
Reducerbare: Minimalt modeksempel kan ikke indeholde<br />
nogen af disse.<br />
Uundg˚aelige: Minimalt modeksempel (...) vil indeholde en<br />
af disse.<br />
Findes s˚adan en samling kan der ikke findes et modeksempel.<br />
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong> sætningen er vist
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Reducerbare<br />
konfigurationer<br />
Uundg˚aelige<br />
konfigurationer<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Uundg˚aelige konfigurationer<br />
En samling konfigurationer er<br />
Reducerbare: Minimalt modeksempel kan ikke indeholde<br />
nogen af disse.<br />
Uundg˚aelige: Minimalt modeksempel (...) vil indeholde en<br />
af disse.<br />
Findes s˚adan en samling kan der ikke findes et modeksempel.<br />
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong> sætningen er vist
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Reducerbare<br />
konfigurationer<br />
Uundg˚aelige<br />
konfigurationer<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Uundg˚aelige konfigurationer<br />
En samling konfigurationer er<br />
Reducerbare: Minimalt modeksempel kan ikke indeholde<br />
nogen af disse.<br />
Uundg˚aelige: Minimalt modeksempel (...) vil indeholde en<br />
af disse.<br />
Findes s˚adan en samling kan der ikke findes et modeksempel.<br />
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong> sætningen er vist
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Reducerbare<br />
konfigurationer<br />
Uundg˚aelige<br />
konfigurationer<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Uundg˚aelige konfigurationer<br />
En samling konfigurationer er<br />
Reducerbare: Minimalt modeksempel kan ikke indeholde<br />
nogen af disse.<br />
Uundg˚aelige: Minimalt modeksempel (...) vil indeholde en<br />
af disse.<br />
Findes s˚adan en samling kan der ikke findes et modeksempel.<br />
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong> sætningen er vist
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Alfred Kempe 1849-1922
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe (1879): Et uundg˚aeligt sæt konfigurationer:<br />
Metode: Eulers formel.<br />
Kempe: Alle reducerbare<br />
Metode: Kempekæder.<br />
Heawood (1890): ... p˚anær den sidste.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe (1879): Et uundg˚aeligt sæt konfigurationer:<br />
Metode: Eulers formel.<br />
Kempe: Alle reducerbare<br />
Metode: Kempekæder.<br />
Heawood (1890): ... p˚anær den sidste.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe (1879): Et uundg˚aeligt sæt konfigurationer:<br />
Metode: Eulers formel.<br />
Kempe: Alle reducerbare<br />
Metode: Kempekæder.<br />
Heawood (1890): ... p˚anær den sidste.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe (1879): Et uundg˚aeligt sæt konfigurationer:<br />
Metode: Eulers formel.<br />
Kempe: Alle reducerbare<br />
Metode: Kempekæder.<br />
Heawood (1890): ... p˚anær den sidste.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe (1879): Et uundg˚aeligt sæt konfigurationer:<br />
Metode: Eulers formel.<br />
Kempe: Alle reducerbare<br />
Metode: Kempekæder.<br />
Heawood (1890): ... p˚anær den sidste.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Kempekæder - grad 4<br />
Grad 4 knude.<br />
Case 1: Rød-grønne komponenter adskildte<br />
Omfarvning<br />
Case 2: Rød-grøn Kempekæde<br />
Bl˚a-gule komponenter adskilte<br />
Omfarvning
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Kempekæder - grad 4<br />
Grad 4 knude.<br />
Case 1: Rød-grønne komponenter adskildte<br />
Omfarvning<br />
Case 2: Rød-grøn Kempekæde<br />
Bl˚a-gule komponenter adskilte<br />
Omfarvning
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Kempekæder - grad 4<br />
Grad 4 knude.<br />
Case 1: Rød-grønne komponenter adskildte<br />
Omfarvning<br />
Case 2: Rød-grøn Kempekæde<br />
Bl˚a-gule komponenter adskilte<br />
Omfarvning
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Kempekæder - grad 4<br />
Grad 4 knude.<br />
Case 1: Rød-grønne komponenter adskildte<br />
Omfarvning<br />
Case 2: Rød-grøn Kempekæde<br />
Bl˚a-gule komponenter adskilte<br />
Omfarvning
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Kempekæder - grad 4<br />
Grad 4 knude.<br />
Case 1: Rød-grønne komponenter adskildte<br />
Omfarvning<br />
Case 2: Rød-grøn Kempekæde<br />
Bl˚a-gule komponenter adskilte<br />
Omfarvning
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Kempekæder - grad 4<br />
Grad 4 knude.<br />
Case 1: Rød-grønne komponenter adskildte<br />
Omfarvning<br />
Case 2: Rød-grøn Kempekæde<br />
Bl˚a-gule komponenter adskilte<br />
Omfarvning
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Kempe’s argument for grad-5<br />
Alle <strong>farve</strong>r brugt
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Kempe’s argument for grad-5<br />
Rød-bl˚a komponenter adskildte
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Kempe’s argument for grad-5<br />
Rød-bl˚a komponenter adskildte - omfarvning, OK
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Kempe’s argument for grad-5<br />
Rød-grønne komponenter adskilte
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Kempe’s argument for grad-5<br />
Rød-grønne komponenter adskilte - omfarvning, OK
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Kempe’s argument for grad-5<br />
Der er rød-bl˚a og rød-grøn Kempekæde
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Kempe’s argument for grad-5<br />
S˚a er gul-grøn adskildt fra gul-grøn
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Kempe’s argument for grad-5<br />
S˚a er gul-grøn adskildt fra gul-grøn - omfarvning
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Kempe’s argument for grad-5<br />
S˚a er gul-bl˚a adskildt fra gul-bl˚a
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Kempe’s argument for grad-5<br />
S˚a er gul-bl˚a adskildt fra gul-bl˚a - omfarvning
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Kempe’s argument for grad-5<br />
Med begge omfarvninger: OK
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Percy John Heawood 1861-1955
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Modeksempel
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Modeksempel
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Modeksempel
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Modeksempel
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Modeksempel
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Modeksempel
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Heawood grafen
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Heawood grafen
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Heawood grafen
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Heawood grafen
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
5-<strong>farve</strong> sætningen<br />
Heawood viste at Kempe’s bevis kunne bruges til at vise at 5<br />
<strong>farve</strong>r er nok!
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
5-<strong>farve</strong> sætningen<br />
Heawood viste at Kempe’s bevis kunne bruges til at vise at 5<br />
<strong>farve</strong>r er nok!
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
5-<strong>farve</strong> sætningen<br />
Heawood viste at Kempe’s bevis kunne bruges til at vise at 5<br />
<strong>farve</strong>r er nok!
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
5-<strong>farve</strong> sætningen<br />
Heawood viste at Kempe’s bevis kunne bruges til at vise at 5<br />
<strong>farve</strong>r er nok!
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Birkhoff simplifikationer<br />
Minimalt modeksempel er en internt 6-sammenhængende<br />
triangulering.<br />
Alle regioner har 3 kanter.<br />
Hvert hjørne har grad mindst 5.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Birkhoff simplifikationer<br />
Minimalt modeksempel er en internt 6-sammenhængende<br />
triangulering.<br />
Alle regioner har 3 kanter.<br />
Hvert hjørne har grad mindst 5.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Birkhoff simplifikationer<br />
Minimalt modeksempel er en internt 6-sammenhængende<br />
triangulering.<br />
Alle regioner har 3 kanter.<br />
Hvert hjørne har grad mindst 5.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Internt 6-sammenhængende<br />
G er internt 6-sammenhængende hvis G har mindst 6 knuder,<br />
og for hvert sæt X af knuder hvor grafen G \ X er<br />
ikke-sammenhængende, gælder enten |X | ≥ 6, eller |X | = 5 og<br />
G \ X har præcis to komponenter, hvor den ene har præcis en<br />
knude.<br />
Hver knude i en internt 6-sammenhængende graf har grad<br />
mindst 5.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Internt 6-sammenhængende<br />
5-ring. Indre ?<br />
?
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Internt 6-sammenhængende<br />
Eneste problem er hvis det indre best˚ar af netop en knude
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
5-ring<br />
Her ser vi p˚a Birkhoffs resultat.<br />
G minimal modeksempel.<br />
R 5-ring<br />
A det indre<br />
B det ydre<br />
Antag at A|, |B| ≥ 2.<br />
Reducer A henh. B til en knude forbundet til hele R. F˚a to<br />
4-farvninger f og g.<br />
f |R henh. g|R er 3-farvninger af R. Kan vi f˚a dem til at stemme<br />
er vi færdige.<br />
Netop en <strong>farve</strong> forekommer kun en gang p˚a R, knude m(f )<br />
henh. m(g). Hvis m(f ) = m(g) kan vi kombinere f og g til<br />
4-farvning af G.<br />
m(f ) = m(g). Det er lidt kompliceret!<br />
Kempe-kæder!
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
5-ring<br />
|A|, |B| ≥ 2<br />
A B
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
5-ring<br />
A erstattes af en grad-5 knude<br />
A B
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
5-ring<br />
4-farvning giver 3-farvning af 5-ringen<br />
A B
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
5-ring<br />
B erstattes af en grad-5 knude<br />
A B
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
5-ring<br />
A B<br />
4-farvning giver (ny) 3-farvning af 5-ringen
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
5-ring<br />
To tilfælde
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
5-ring<br />
Kempekæde argumenter
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Birkhoff’s diamant<br />
Birkhoff’s diamant: 4 grad-5 knuder
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Birkhoff’s diamant<br />
Nabolaget
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Birkhoff’s diamant<br />
God ring-farvning
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Birkhoff’s diamant<br />
God ring-farvning ... kan udvides
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Birkhoff’s diamant<br />
Ring-farvning der ikke kan udvides
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Birkhoff’s diamant<br />
Hvis der er rød-gul Kempekæde
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Birkhoff’s diamant<br />
Hvis der er rød-gul Kempekæde - omfarvning
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Birkhoff’s diamant<br />
Hvis der er rød-gul Kempekæde - omfarvning - udvidelse
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Birkhoff’s diamant<br />
Symmetrisk tilfælde
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Birkhoff’s diamant<br />
Symmetrisk tilfælde
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Birkhoff’s diamant<br />
Symmetrisk tilfælde
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Birkhoff’s diamant<br />
Hvis der ikke er rød-gul kæde
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Birkhoff’s diamant<br />
Hvis der ikke er rød-gul kæde - omfarvning
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Birkhoff’s diamant<br />
Hvis der ikke er rød-gul kæde - udvidelse
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
6-ring<br />
31 essentielt forskellige farvninger af ringen<br />
16 gode farvninger<br />
Resten kan med Kempekæder om<strong>farve</strong>s til gode farvninger<br />
C-reducerbarhed er bedre
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
6-ring<br />
31 essentielt forskellige farvninger af ringen<br />
16 gode farvninger<br />
Resten kan med Kempekæder om<strong>farve</strong>s til gode farvninger<br />
C-reducerbarhed er bedre
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
6-ring<br />
31 essentielt forskellige farvninger af ringen<br />
16 gode farvninger<br />
Resten kan med Kempekæder om<strong>farve</strong>s til gode farvninger<br />
C-reducerbarhed er bedre
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
6-ring<br />
31 essentielt forskellige farvninger af ringen<br />
16 gode farvninger<br />
Resten kan med Kempekæder om<strong>farve</strong>s til gode farvninger<br />
C-reducerbarhed er bedre
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
C-reducerbarhed<br />
Den oprindelige konfiguration
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
C-reducerbarhed<br />
Sammentrækningskanter
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
C-reducerbarhed<br />
Første sammentrækning
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
C-reducerbarhed<br />
Anden sammentrækning
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
C-reducerbarhed<br />
Tredie sammentrækning
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
C-reducerbarhed<br />
Fjerde sammentrækning
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
C-reducerbarhed<br />
Femte sammentrækning (grafen stadig plan og uden loops)
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
C-reducerbarhed<br />
4-farvning af den mindre graf
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
C-reducerbarhed<br />
a<br />
a<br />
a-Knuderne har forskellig <strong>farve</strong>, b-knuderne samme <strong>farve</strong><br />
b<br />
b
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
C-reducerbarhed<br />
Kun 6 (af de 31) ring-farvninger tilbage at checke
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
C-reducerbarhed<br />
De 6 farvninger
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
C-reducerbarhed<br />
De 6 farvninger - 5 kan direkte udvides
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
C-reducerbarhed<br />
Kempeargument løser den sidste farvning
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
C-reducerbarhed<br />
Kempeargument løser den sidste farvning - farvningen fra før!
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
C-reducerbarhed<br />
Hele grafen skal stadig være uden loops!
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Konfigurationer og D-reducerbarhed<br />
Konfiguration K<br />
G<br />
K
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Konfigurationer og D-reducerbarhed<br />
Fri fuldendelse med ring R<br />
G<br />
K<br />
R
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Konfigurationer og D-reducerbarhed<br />
Fjernes K kan resten 4-<strong>farve</strong>s<br />
G<br />
R
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Konfigurationer og D-reducerbarhed<br />
Induceret 4-farvning af ringen R<br />
G<br />
R
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Konfigurationer og D-reducerbarhed<br />
G<br />
K<br />
Induceret 4-farvning af ringen R , der enten kan udvides til K,<br />
eller kan om<strong>farve</strong>s, og derefter udvides<br />
R
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Ringstørrelsen<br />
Antal forskellige 4-farvninger af en k-ring<br />
6 7 8 9 10 11 12 13 14<br />
31 91 274 820 2461 7381 22144 64430 199291<br />
χCk (x) = (x − 1)k + (−1) k (x − 1).<br />
Hvis mindst 3 <strong>farve</strong>r bruges f˚as 24 ækvivalente.<br />
Hvis netop 2 <strong>farve</strong>r bruges (kun muligt for k lige) f˚as 12<br />
ækvivalente.<br />
Antal =<br />
<br />
χCk<br />
(4)/24 for k ulige<br />
1 + (χCk (4) − 12)/24 for k lige
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Ringstørrelsen<br />
Antal forskellige 4-farvninger af en k-ring<br />
6 7 8 9 10 11 12 13 14<br />
31 91 274 820 2461 7381 22144 64430 199291<br />
χCk (x) = (x − 1)k + (−1) k (x − 1).<br />
Hvis mindst 3 <strong>farve</strong>r bruges f˚as 24 ækvivalente.<br />
Hvis netop 2 <strong>farve</strong>r bruges (kun muligt for k lige) f˚as 12<br />
ækvivalente.<br />
Antal =<br />
<br />
χCk<br />
(4)/24 for k ulige<br />
1 + (χCk (4) − 12)/24 for k lige
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Ringstørrelsen<br />
Antal forskellige 4-farvninger af en k-ring<br />
6 7 8 9 10 11 12 13 14<br />
31 91 274 820 2461 7381 22144 64430 199291<br />
χCk (x) = (x − 1)k + (−1) k (x − 1).<br />
Hvis mindst 3 <strong>farve</strong>r bruges f˚as 24 ækvivalente.<br />
Hvis netop 2 <strong>farve</strong>r bruges (kun muligt for k lige) f˚as 12<br />
ækvivalente.<br />
Antal =<br />
<br />
χCk<br />
(4)/24 for k ulige<br />
1 + (χCk (4) − 12)/24 for k lige
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Ringstørrelsen<br />
Antal forskellige 4-farvninger af en k-ring<br />
6 7 8 9 10 11 12 13 14<br />
31 91 274 820 2461 7381 22144 64430 199291<br />
χCk (x) = (x − 1)k + (−1) k (x − 1).<br />
Hvis mindst 3 <strong>farve</strong>r bruges f˚as 24 ækvivalente.<br />
Hvis netop 2 <strong>farve</strong>r bruges (kun muligt for k lige) f˚as 12<br />
ækvivalente.<br />
Antal =<br />
<br />
χCk<br />
(4)/24 for k ulige<br />
1 + (χCk (4) − 12)/24 for k lige
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Kempe’s bevis<br />
Kempe’s fejl<br />
Heawood’s<br />
modeksempel<br />
Heawood grafen<br />
5-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Birkhoff<br />
Birkhoff’s<br />
diamant<br />
C-reducerbarhed<br />
Konfigurationer<br />
og<br />
D-reducerbarhed<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
Ringstørrelsen<br />
Antal forskellige 4-farvninger af en k-ring<br />
6 7 8 9 10 11 12 13 14<br />
31 91 274 820 2461 7381 22144 64430 199291<br />
χCk (x) = (x − 1)k + (−1) k (x − 1).<br />
Hvis mindst 3 <strong>farve</strong>r bruges f˚as 24 ækvivalente.<br />
Hvis netop 2 <strong>farve</strong>r bruges (kun muligt for k lige) f˚as 12<br />
ækvivalente.<br />
Antal =<br />
<br />
χCk<br />
(4)/24 for k ulige<br />
1 + (χCk (4) − 12)/24 for k lige
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Beviserne<br />
Heesch: 8904 uundg˚aelige konfigurationer burde være nok!<br />
Appel, Haken: 1476 reducerbare konfigurationer.<br />
Appel, Haken: Uundg˚aelighed via 487 (komplicerede)<br />
afladningsregler.<br />
Robertson, Sanders, Seymour og Thomas: 633 reducerbare<br />
konfigurationer.<br />
Robertson et al: Uundg˚aelighed via 32 (simple)<br />
afladningsregler.<br />
Simplere D-reducibilitet.<br />
Mange bogus beviser ...
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Beviserne<br />
Heesch: 8904 uundg˚aelige konfigurationer burde være nok!<br />
Appel, Haken: 1476 reducerbare konfigurationer.<br />
Appel, Haken: Uundg˚aelighed via 487 (komplicerede)<br />
afladningsregler.<br />
Robertson, Sanders, Seymour og Thomas: 633 reducerbare<br />
konfigurationer.<br />
Robertson et al: Uundg˚aelighed via 32 (simple)<br />
afladningsregler.<br />
Simplere D-reducibilitet.<br />
Mange bogus beviser ...
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Beviserne<br />
Heesch: 8904 uundg˚aelige konfigurationer burde være nok!<br />
Appel, Haken: 1476 reducerbare konfigurationer.<br />
Appel, Haken: Uundg˚aelighed via 487 (komplicerede)<br />
afladningsregler.<br />
Robertson, Sanders, Seymour og Thomas: 633 reducerbare<br />
konfigurationer.<br />
Robertson et al: Uundg˚aelighed via 32 (simple)<br />
afladningsregler.<br />
Simplere D-reducibilitet.<br />
Mange bogus beviser ...
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Beviserne<br />
Heesch: 8904 uundg˚aelige konfigurationer burde være nok!<br />
Appel, Haken: 1476 reducerbare konfigurationer.<br />
Appel, Haken: Uundg˚aelighed via 487 (komplicerede)<br />
afladningsregler.<br />
Robertson, Sanders, Seymour og Thomas: 633 reducerbare<br />
konfigurationer.<br />
Robertson et al: Uundg˚aelighed via 32 (simple)<br />
afladningsregler.<br />
Simplere D-reducibilitet.<br />
Mange bogus beviser ...
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Beviserne<br />
Heesch: 8904 uundg˚aelige konfigurationer burde være nok!<br />
Appel, Haken: 1476 reducerbare konfigurationer.<br />
Appel, Haken: Uundg˚aelighed via 487 (komplicerede)<br />
afladningsregler.<br />
Robertson, Sanders, Seymour og Thomas: 633 reducerbare<br />
konfigurationer.<br />
Robertson et al: Uundg˚aelighed via 32 (simple)<br />
afladningsregler.<br />
Simplere D-reducibilitet.<br />
Mange bogus beviser ...
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Beviserne<br />
Heesch: 8904 uundg˚aelige konfigurationer burde være nok!<br />
Appel, Haken: 1476 reducerbare konfigurationer.<br />
Appel, Haken: Uundg˚aelighed via 487 (komplicerede)<br />
afladningsregler.<br />
Robertson, Sanders, Seymour og Thomas: 633 reducerbare<br />
konfigurationer.<br />
Robertson et al: Uundg˚aelighed via 32 (simple)<br />
afladningsregler.<br />
Simplere D-reducibilitet.<br />
Mange bogus beviser ...
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Beviserne<br />
Heesch: 8904 uundg˚aelige konfigurationer burde være nok!<br />
Appel, Haken: 1476 reducerbare konfigurationer.<br />
Appel, Haken: Uundg˚aelighed via 487 (komplicerede)<br />
afladningsregler.<br />
Robertson, Sanders, Seymour og Thomas: 633 reducerbare<br />
konfigurationer.<br />
Robertson et al: Uundg˚aelighed via 32 (simple)<br />
afladningsregler.<br />
Simplere D-reducibilitet.<br />
Mange bogus beviser ...
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Eksempel<br />
32<br />
afladningsregler<br />
633 uundg˚aelige<br />
konfigurationer<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Uundg˚aeligt sæt<br />
Uundg˚aelige konfigurationer.<br />
Figur: Uundg˚aeligt sæt
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Eksempel<br />
32<br />
afladningsregler<br />
633 uundg˚aelige<br />
konfigurationer<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Afladningsregel<br />
G en triangulering, δ(G) = 5.<br />
Knuder gives en ladning 6 − deg(v).<br />
Total ladning er<br />
(6 − deg(v)) = 6V − 2E = 6V − (6V − 12) = 12<br />
<br />
v∈V<br />
Afladningsregel: Grad 5 knuder fordeler deres ladning<br />
ligeligt til negativt ladede naboer.<br />
Total ladning er bevaret.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Eksempel<br />
32<br />
afladningsregler<br />
633 uundg˚aelige<br />
konfigurationer<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Afladningsregel<br />
G en triangulering, δ(G) = 5.<br />
Knuder gives en ladning 6 − deg(v).<br />
Total ladning er<br />
(6 − deg(v)) = 6V − 2E = 6V − (6V − 12) = 12<br />
<br />
v∈V<br />
Afladningsregel: Grad 5 knuder fordeler deres ladning<br />
ligeligt til negativt ladede naboer.<br />
Total ladning er bevaret.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Eksempel<br />
32<br />
afladningsregler<br />
633 uundg˚aelige<br />
konfigurationer<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Afladningsregel<br />
G en triangulering, δ(G) = 5.<br />
Knuder gives en ladning 6 − deg(v).<br />
Total ladning er<br />
(6 − deg(v)) = 6V − 2E = 6V − (6V − 12) = 12<br />
<br />
v∈V<br />
Afladningsregel: Grad 5 knuder fordeler deres ladning<br />
ligeligt til negativt ladede naboer.<br />
Total ladning er bevaret.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Eksempel<br />
32<br />
afladningsregler<br />
633 uundg˚aelige<br />
konfigurationer<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Afladningsregel<br />
G en triangulering, δ(G) = 5.<br />
Knuder gives en ladning 6 − deg(v).<br />
Total ladning er<br />
(6 − deg(v)) = 6V − 2E = 6V − (6V − 12) = 12<br />
<br />
v∈V<br />
Afladningsregel: Grad 5 knuder fordeler deres ladning<br />
ligeligt til negativt ladede naboer.<br />
Total ladning er bevaret.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Eksempel<br />
32<br />
afladningsregler<br />
633 uundg˚aelige<br />
konfigurationer<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Afladningsregel<br />
G en triangulering, δ(G) = 5.<br />
Knuder gives en ladning 6 − deg(v).<br />
Total ladning er<br />
(6 − deg(v)) = 6V − 2E = 6V − (6V − 12) = 12<br />
<br />
v∈V<br />
Afladningsregel: Grad 5 knuder fordeler deres ladning<br />
ligeligt til negativt ladede naboer.<br />
Total ladning er bevaret.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Eksempel<br />
32<br />
afladningsregler<br />
633 uundg˚aelige<br />
konfigurationer<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Afladning<br />
G en triangulering.<br />
Antag grad 5 knuder kun har naboer med grad mindst 7.<br />
For hver grad 5 knude sendes 1/5 ladning til hver nabo.<br />
-1<br />
-2<br />
1<br />
5<br />
1<br />
5<br />
1
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Eksempel<br />
32<br />
afladningsregler<br />
633 uundg˚aelige<br />
konfigurationer<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Afladning<br />
G en triangulering.<br />
Antag grad 5 knuder kun har naboer med grad mindst 7.<br />
For hver grad 5 knude sendes 1/5 ladning til hver nabo.<br />
-1<br />
-2<br />
1<br />
5<br />
1<br />
5<br />
1
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Eksempel<br />
32<br />
afladningsregler<br />
633 uundg˚aelige<br />
konfigurationer<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Afladning<br />
G en triangulering.<br />
Antag grad 5 knuder kun har naboer med grad mindst 7.<br />
For hver grad 5 knude sendes 1/5 ladning til hver nabo.<br />
-1<br />
-2<br />
1<br />
5<br />
1<br />
5<br />
1
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Eksempel<br />
32<br />
afladningsregler<br />
633 uundg˚aelige<br />
konfigurationer<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Afladning<br />
G en triangulering.<br />
Antag grad 5 knuder kun har naboer med grad mindst 7.<br />
For hver grad 5 knude sendes 1/5 ladning til hver nabo.<br />
-1<br />
-2<br />
1<br />
5<br />
1<br />
5<br />
1
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Eksempel<br />
32<br />
afladningsregler<br />
633 uundg˚aelige<br />
konfigurationer<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Afladning<br />
Nu har grad 5 og grad 6 knuder ladning 0.<br />
Lad deg(v) = 7. Hvis ladningen af v er positiv m˚a v have<br />
modtaget mindst 6/5, dvs. v m˚a have mindst 6 grad-5<br />
naboer.<br />
Det tvinger to af disse til at være naboer hvilket ikke er<br />
tilladt.<br />
Generelt, hvis deg(v) = d ≥ 8 kan ladningen kun være<br />
positiv hvis der er flere end 5(d − 6) grad-5 naboer:<br />
Modstrid.<br />
5(d − 6) < d, 4d < 30<br />
Da der er positiv ladede knuder efter afladningen, m˚a der<br />
være en af de uundg˚aelige konfigurationer.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Eksempel<br />
32<br />
afladningsregler<br />
633 uundg˚aelige<br />
konfigurationer<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Afladning<br />
Nu har grad 5 og grad 6 knuder ladning 0.<br />
Lad deg(v) = 7. Hvis ladningen af v er positiv m˚a v have<br />
modtaget mindst 6/5, dvs. v m˚a have mindst 6 grad-5<br />
naboer.<br />
Det tvinger to af disse til at være naboer hvilket ikke er<br />
tilladt.<br />
Generelt, hvis deg(v) = d ≥ 8 kan ladningen kun være<br />
positiv hvis der er flere end 5(d − 6) grad-5 naboer:<br />
Modstrid.<br />
5(d − 6) < d, 4d < 30<br />
Da der er positiv ladede knuder efter afladningen, m˚a der<br />
være en af de uundg˚aelige konfigurationer.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Eksempel<br />
32<br />
afladningsregler<br />
633 uundg˚aelige<br />
konfigurationer<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Afladning<br />
Nu har grad 5 og grad 6 knuder ladning 0.<br />
Lad deg(v) = 7. Hvis ladningen af v er positiv m˚a v have<br />
modtaget mindst 6/5, dvs. v m˚a have mindst 6 grad-5<br />
naboer.<br />
Det tvinger to af disse til at være naboer hvilket ikke er<br />
tilladt.<br />
Generelt, hvis deg(v) = d ≥ 8 kan ladningen kun være<br />
positiv hvis der er flere end 5(d − 6) grad-5 naboer:<br />
Modstrid.<br />
5(d − 6) < d, 4d < 30<br />
Da der er positiv ladede knuder efter afladningen, m˚a der<br />
være en af de uundg˚aelige konfigurationer.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Eksempel<br />
32<br />
afladningsregler<br />
633 uundg˚aelige<br />
konfigurationer<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Afladning<br />
Nu har grad 5 og grad 6 knuder ladning 0.<br />
Lad deg(v) = 7. Hvis ladningen af v er positiv m˚a v have<br />
modtaget mindst 6/5, dvs. v m˚a have mindst 6 grad-5<br />
naboer.<br />
Det tvinger to af disse til at være naboer hvilket ikke er<br />
tilladt.<br />
Generelt, hvis deg(v) = d ≥ 8 kan ladningen kun være<br />
positiv hvis der er flere end 5(d − 6) grad-5 naboer:<br />
Modstrid.<br />
5(d − 6) < d, 4d < 30<br />
Da der er positiv ladede knuder efter afladningen, m˚a der<br />
være en af de uundg˚aelige konfigurationer.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Eksempel<br />
32<br />
afladningsregler<br />
633 uundg˚aelige<br />
konfigurationer<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Afladning<br />
Nu har grad 5 og grad 6 knuder ladning 0.<br />
Lad deg(v) = 7. Hvis ladningen af v er positiv m˚a v have<br />
modtaget mindst 6/5, dvs. v m˚a have mindst 6 grad-5<br />
naboer.<br />
Det tvinger to af disse til at være naboer hvilket ikke er<br />
tilladt.<br />
Generelt, hvis deg(v) = d ≥ 8 kan ladningen kun være<br />
positiv hvis der er flere end 5(d − 6) grad-5 naboer:<br />
Modstrid.<br />
5(d − 6) < d, 4d < 30<br />
Da der er positiv ladede knuder efter afladningen, m˚a der<br />
være en af de uundg˚aelige konfigurationer.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Eksempel<br />
32<br />
afladningsregler<br />
633 uundg˚aelige<br />
konfigurationer<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
32 afladningsregler
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Eksempel<br />
32<br />
afladningsregler<br />
633 uundg˚aelige<br />
konfigurationer<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
633 uundg˚aelige konfigurationer<br />
unavoidable set page 1
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Eksempel<br />
32<br />
afladningsregler<br />
633 uundg˚aelige<br />
konfigurationer<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
633 uundg˚aelige konfigurationer<br />
unavoidable set page 2
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Eksempel<br />
32<br />
afladningsregler<br />
633 uundg˚aelige<br />
konfigurationer<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
633 uundg˚aelige konfigurationer<br />
unavoidable set page 3
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Eksempel<br />
32<br />
afladningsregler<br />
633 uundg˚aelige<br />
konfigurationer<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
633 uundg˚aelige konfigurationer<br />
unavoidable set page 4
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Eksempel<br />
32<br />
afladningsregler<br />
633 uundg˚aelige<br />
konfigurationer<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
633 uundg˚aelige konfigurationer<br />
unavoidable set page 5
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Eksempel<br />
32<br />
afladningsregler<br />
633 uundg˚aelige<br />
konfigurationer<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
633 uundg˚aelige konfigurationer<br />
unavoidable set page 6
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Eksempel<br />
32<br />
afladningsregler<br />
633 uundg˚aelige<br />
konfigurationer<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
633 uundg˚aelige konfigurationer<br />
unavoidable set page 7
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Eksempel<br />
32<br />
afladningsregler<br />
633 uundg˚aelige<br />
konfigurationer<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
633 uundg˚aelige konfigurationer<br />
unavoidable set page 8
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Eksempel<br />
32<br />
afladningsregler<br />
633 uundg˚aelige<br />
konfigurationer<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
633 uundg˚aelige konfigurationer<br />
unavoidable set page 9
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Eksempel<br />
32<br />
afladningsregler<br />
633 uundg˚aelige<br />
konfigurationer<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
633 uundg˚aelige konfigurationer<br />
unavoidable set page 10
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
m-pires<br />
Jord-M˚ane<br />
problemet<br />
Liste-farvninger<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Generaliseringer<br />
m-pire problemet: Hvert land har m regioner. Et lands<br />
regioner skal have samme <strong>farve</strong>.<br />
Jord-M˚ane problemet: Hvert land har en region p˚a Jorden<br />
og en p˚a M˚anen.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
m-pires<br />
Jord-M˚ane<br />
problemet<br />
Liste-farvninger<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Generaliseringer<br />
m-pire problemet: Hvert land har m regioner. Et lands<br />
regioner skal have samme <strong>farve</strong>.<br />
Jord-M˚ane problemet: Hvert land har en region p˚a Jorden<br />
og en p˚a M˚anen.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
m-pires<br />
Jord-M˚ane<br />
problemet<br />
Liste-farvninger<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
m-pires<br />
Hvert land har m regioner. Plan graf G = (V , E).<br />
Euler’s formel giver E ≤ 3(V − 2).<br />
Emperiegraf H = (v, e). V = mv, e ≤ E.<br />
<br />
x∈v deg H(x) = 2e ≤ 2E ≤ 6(V − 2)<br />
Gennemsnitsgraden er<br />
2e<br />
v<br />
Induktion.<br />
≤ 6(V − 2)/v = 6m(V − 2)/V < 6m<br />
Heawood fandt eksempel for m = 2 der kræver 12 <strong>farve</strong>r.<br />
Heawood (1890): 2-pire løst.<br />
Jackson and Ringel (1984): m-pire løst.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
m-pires<br />
Jord-M˚ane<br />
problemet<br />
Liste-farvninger<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
m-pires<br />
Hvert land har m regioner. Plan graf G = (V , E).<br />
Euler’s formel giver E ≤ 3(V − 2).<br />
Emperiegraf H = (v, e). V = mv, e ≤ E.<br />
<br />
x∈v deg H(x) = 2e ≤ 2E ≤ 6(V − 2)<br />
Gennemsnitsgraden er<br />
2e<br />
v<br />
Induktion.<br />
≤ 6(V − 2)/v = 6m(V − 2)/V < 6m<br />
Heawood fandt eksempel for m = 2 der kræver 12 <strong>farve</strong>r.<br />
Heawood (1890): 2-pire løst.<br />
Jackson and Ringel (1984): m-pire løst.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
m-pires<br />
Jord-M˚ane<br />
problemet<br />
Liste-farvninger<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
m-pires<br />
Hvert land har m regioner. Plan graf G = (V , E).<br />
Euler’s formel giver E ≤ 3(V − 2).<br />
Emperiegraf H = (v, e). V = mv, e ≤ E.<br />
<br />
x∈v deg H(x) = 2e ≤ 2E ≤ 6(V − 2)<br />
Gennemsnitsgraden er<br />
2e<br />
v<br />
Induktion.<br />
≤ 6(V − 2)/v = 6m(V − 2)/V < 6m<br />
Heawood fandt eksempel for m = 2 der kræver 12 <strong>farve</strong>r.<br />
Heawood (1890): 2-pire løst.<br />
Jackson and Ringel (1984): m-pire løst.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
m-pires<br />
Jord-M˚ane<br />
problemet<br />
Liste-farvninger<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
m-pires<br />
Hvert land har m regioner. Plan graf G = (V , E).<br />
Euler’s formel giver E ≤ 3(V − 2).<br />
Emperiegraf H = (v, e). V = mv, e ≤ E.<br />
<br />
x∈v deg H(x) = 2e ≤ 2E ≤ 6(V − 2)<br />
Gennemsnitsgraden er<br />
2e<br />
v<br />
Induktion.<br />
≤ 6(V − 2)/v = 6m(V − 2)/V < 6m<br />
Heawood fandt eksempel for m = 2 der kræver 12 <strong>farve</strong>r.<br />
Heawood (1890): 2-pire løst.<br />
Jackson and Ringel (1984): m-pire løst.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
m-pires<br />
Jord-M˚ane<br />
problemet<br />
Liste-farvninger<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
m-pires<br />
Hvert land har m regioner. Plan graf G = (V , E).<br />
Euler’s formel giver E ≤ 3(V − 2).<br />
Emperiegraf H = (v, e). V = mv, e ≤ E.<br />
<br />
x∈v deg H(x) = 2e ≤ 2E ≤ 6(V − 2)<br />
Gennemsnitsgraden er<br />
2e<br />
v<br />
Induktion.<br />
≤ 6(V − 2)/v = 6m(V − 2)/V < 6m<br />
Heawood fandt eksempel for m = 2 der kræver 12 <strong>farve</strong>r.<br />
Heawood (1890): 2-pire løst.<br />
Jackson and Ringel (1984): m-pire løst.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
m-pires<br />
Jord-M˚ane<br />
problemet<br />
Liste-farvninger<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
m-pires<br />
Hvert land har m regioner. Plan graf G = (V , E).<br />
Euler’s formel giver E ≤ 3(V − 2).<br />
Emperiegraf H = (v, e). V = mv, e ≤ E.<br />
<br />
x∈v deg H(x) = 2e ≤ 2E ≤ 6(V − 2)<br />
Gennemsnitsgraden er<br />
2e<br />
v<br />
Induktion.<br />
≤ 6(V − 2)/v = 6m(V − 2)/V < 6m<br />
Heawood fandt eksempel for m = 2 der kræver 12 <strong>farve</strong>r.<br />
Heawood (1890): 2-pire løst.<br />
Jackson and Ringel (1984): m-pire løst.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
m-pires<br />
Jord-M˚ane<br />
problemet<br />
Liste-farvninger<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
m-pires<br />
Hvert land har m regioner. Plan graf G = (V , E).<br />
Euler’s formel giver E ≤ 3(V − 2).<br />
Emperiegraf H = (v, e). V = mv, e ≤ E.<br />
<br />
x∈v deg H(x) = 2e ≤ 2E ≤ 6(V − 2)<br />
Gennemsnitsgraden er<br />
2e<br />
v<br />
Induktion.<br />
≤ 6(V − 2)/v = 6m(V − 2)/V < 6m<br />
Heawood fandt eksempel for m = 2 der kræver 12 <strong>farve</strong>r.<br />
Heawood (1890): 2-pire løst.<br />
Jackson and Ringel (1984): m-pire løst.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
m-pires<br />
Jord-M˚ane<br />
problemet<br />
Liste-farvninger<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
m-pires<br />
Hvert land har m regioner. Plan graf G = (V , E).<br />
Euler’s formel giver E ≤ 3(V − 2).<br />
Emperiegraf H = (v, e). V = mv, e ≤ E.<br />
<br />
x∈v deg H(x) = 2e ≤ 2E ≤ 6(V − 2)<br />
Gennemsnitsgraden er<br />
2e<br />
v<br />
Induktion.<br />
≤ 6(V − 2)/v = 6m(V − 2)/V < 6m<br />
Heawood fandt eksempel for m = 2 der kræver 12 <strong>farve</strong>r.<br />
Heawood (1890): 2-pire løst.<br />
Jackson and Ringel (1984): m-pire løst.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
m-pires<br />
Jord-M˚ane<br />
problemet<br />
Liste-farvninger<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
m-pires<br />
Hvert land har m regioner. Plan graf G = (V , E).<br />
Euler’s formel giver E ≤ 3(V − 2).<br />
Emperiegraf H = (v, e). V = mv, e ≤ E.<br />
<br />
x∈v deg H(x) = 2e ≤ 2E ≤ 6(V − 2)<br />
Gennemsnitsgraden er<br />
2e<br />
v<br />
Induktion.<br />
≤ 6(V − 2)/v = 6m(V − 2)/V < 6m<br />
Heawood fandt eksempel for m = 2 der kræver 12 <strong>farve</strong>r.<br />
Heawood (1890): 2-pire løst.<br />
Jackson and Ringel (1984): m-pire løst.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
m-pires<br />
Jord-M˚ane<br />
problemet<br />
Liste-farvninger<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Kim Scott’s symmetriske 2-pire<br />
10<br />
1<br />
4<br />
3<br />
1<br />
11<br />
11<br />
6<br />
5<br />
6<br />
5<br />
4<br />
7 8 9 8 10 9 7<br />
12<br />
12<br />
2<br />
2<br />
3
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
m-pires<br />
Jord-M˚ane<br />
problemet<br />
Liste-farvninger<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Jord-M˚ane problemet<br />
Hvert land har en region p˚a Jorden og en p˚a M˚anen.<br />
Svaret er mellem 9 og 12.<br />
Thom Sulanke (1974): Mindst 9 <strong>farve</strong>r!<br />
Hjørnerne 6,7,8,9,10,11 udgør K6 (6 <strong>farve</strong>r)<br />
Hjørnerne 1,2,3,4,5 udgør C5 (3 <strong>farve</strong>r), og alle er naboer<br />
til hele K6.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
m-pires<br />
Jord-M˚ane<br />
problemet<br />
Liste-farvninger<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Jord-M˚ane problemet<br />
Hvert land har en region p˚a Jorden og en p˚a M˚anen.<br />
Svaret er mellem 9 og 12.<br />
Thom Sulanke (1974): Mindst 9 <strong>farve</strong>r!<br />
Hjørnerne 6,7,8,9,10,11 udgør K6 (6 <strong>farve</strong>r)<br />
Hjørnerne 1,2,3,4,5 udgør C5 (3 <strong>farve</strong>r), og alle er naboer<br />
til hele K6.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
m-pires<br />
Jord-M˚ane<br />
problemet<br />
Liste-farvninger<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Jord-M˚ane problemet<br />
Hvert land har en region p˚a Jorden og en p˚a M˚anen.<br />
Svaret er mellem 9 og 12.<br />
Thom Sulanke (1974): Mindst 9 <strong>farve</strong>r!<br />
Hjørnerne 6,7,8,9,10,11 udgør K6 (6 <strong>farve</strong>r)<br />
Hjørnerne 1,2,3,4,5 udgør C5 (3 <strong>farve</strong>r), og alle er naboer<br />
til hele K6.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
m-pires<br />
Jord-M˚ane<br />
problemet<br />
Liste-farvninger<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Jord-M˚ane problemet<br />
Hvert land har en region p˚a Jorden og en p˚a M˚anen.<br />
Svaret er mellem 9 og 12.<br />
Thom Sulanke (1974): Mindst 9 <strong>farve</strong>r!<br />
Hjørnerne 6,7,8,9,10,11 udgør K6 (6 <strong>farve</strong>r)<br />
Hjørnerne 1,2,3,4,5 udgør C5 (3 <strong>farve</strong>r), og alle er naboer<br />
til hele K6.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
m-pires<br />
Jord-M˚ane<br />
problemet<br />
Liste-farvninger<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Jord-M˚ane problemet<br />
Hvert land har en region p˚a Jorden og en p˚a M˚anen.<br />
Svaret er mellem 9 og 12.<br />
Thom Sulanke (1974): Mindst 9 <strong>farve</strong>r!<br />
Hjørnerne 6,7,8,9,10,11 udgør K6 (6 <strong>farve</strong>r)<br />
Hjørnerne 1,2,3,4,5 udgør C5 (3 <strong>farve</strong>r), og alle er naboer<br />
til hele K6.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
m-pires<br />
Jord-M˚ane<br />
problemet<br />
Liste-farvninger<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
5-liste farvning<br />
Carsten Thomassen (1994): Givet 5 tilladte <strong>farve</strong>r for hvert<br />
land. Kortet kan <strong>farve</strong>s.
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Ringel-Youngs<br />
sætningen -<br />
1968<br />
Heawood formel<br />
7-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Referencer<br />
Ringel-Youngs sætningen - 1968<br />
Lad G være indlejret p˚a en overflade, som ikke er en kugle,<br />
med Euler-karakteristik ɛ.<br />
χ(G) ≤ H(ɛ) = 7 + √ 49 − 24ɛ<br />
2<br />
Bortset fra Klein flasken kan K H(ɛ) indlejres.<br />
Ringel-Youngs (1968).
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Ringel-Youngs<br />
sætningen -<br />
1968<br />
Heawood formel<br />
7-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Referencer<br />
Ringel-Youngs sætningen - 1968<br />
Lad G være indlejret p˚a en overflade, som ikke er en kugle,<br />
med Euler-karakteristik ɛ.<br />
χ(G) ≤ H(ɛ) = 7 + √ 49 − 24ɛ<br />
2<br />
Bortset fra Klein flasken kan K H(ɛ) indlejres.<br />
Ringel-Youngs (1968).
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Ringel-Youngs<br />
sætningen -<br />
1968<br />
Heawood formel<br />
7-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Referencer<br />
Ringel-Youngs sætningen - 1968<br />
Lad G være indlejret p˚a en overflade, som ikke er en kugle,<br />
med Euler-karakteristik ɛ.<br />
χ(G) ≤ H(ɛ) = 7 + √ 49 − 24ɛ<br />
2<br />
Bortset fra Klein flasken kan K H(ɛ) indlejres.<br />
Ringel-Youngs (1968).
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Ringel-Youngs<br />
sætningen -<br />
1968<br />
Heawood formel<br />
7-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Referencer<br />
Heawood formel - 1890<br />
Lad G være indlejret p˚a en overflade med<br />
Euler-karakteristik ɛ. S˚a er<br />
(’=’ for ’pæne indlejringer).<br />
V − E + F ≥ ɛ<br />
Hver region har mindst 3 kanter: E ≥ 3F /2, dvs.<br />
V − ɛ ≥ E − F ≥ E/3, dvs.<br />
E ≤ 3V − 3ɛ
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Ringel-Youngs<br />
sætningen -<br />
1968<br />
Heawood formel<br />
7-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Referencer<br />
Heawood formel - 1890<br />
Lad G være indlejret p˚a en overflade med<br />
Euler-karakteristik ɛ. S˚a er<br />
(’=’ for ’pæne indlejringer).<br />
V − E + F ≥ ɛ<br />
Hver region har mindst 3 kanter: E ≥ 3F /2, dvs.<br />
V − ɛ ≥ E − F ≥ E/3, dvs.<br />
E ≤ 3V − 3ɛ
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Ringel-Youngs<br />
sætningen -<br />
1968<br />
Heawood formel<br />
7-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Referencer<br />
Heawood formel<br />
Lad G være minimal med χG = k. S˚a er δ(G) ≥ k − 1.<br />
Alts˚a er<br />
V (k − 1) ≤ <br />
deg(x) = 2E ≤ 6V − 6ɛ<br />
x∈V<br />
Alts˚a er for k ≥ 7: k(k − 7) ≤ V (k − 7) ≤ −6ɛ (idet<br />
V ≥ k).<br />
k(k − 7) + 6ɛ ≤ 0<br />
k ≤ H(ɛ) = 7 + √ 49 − 24ɛ<br />
2
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Ringel-Youngs<br />
sætningen -<br />
1968<br />
Heawood formel<br />
7-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Referencer<br />
Heawood formel<br />
Lad G være minimal med χG = k. S˚a er δ(G) ≥ k − 1.<br />
Alts˚a er<br />
V (k − 1) ≤ <br />
deg(x) = 2E ≤ 6V − 6ɛ<br />
x∈V<br />
Alts˚a er for k ≥ 7: k(k − 7) ≤ V (k − 7) ≤ −6ɛ (idet<br />
V ≥ k).<br />
k(k − 7) + 6ɛ ≤ 0<br />
k ≤ H(ɛ) = 7 + √ 49 − 24ɛ<br />
2
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Ringel-Youngs<br />
sætningen -<br />
1968<br />
Heawood formel<br />
7-<strong>farve</strong><br />
sætningen<br />
Referencer<br />
7-<strong>farve</strong> sætningen<br />
For en torus er ɛ = 0, s˚a k ≤ H(0) = 7.<br />
Da K7 kan indlejres p˚a en torus er problemet løst der!<br />
5<br />
6<br />
7<br />
1 2 3 4 5 6<br />
Figur: Torus<br />
7
<strong>Fire</strong>-<strong>farve</strong><br />
<strong>Sætningen</strong><br />
JB<br />
Oversigt<br />
Historie<br />
Kort og Grafer<br />
Bevis ide<br />
Kempekæder<br />
Beviserne<br />
Afladning<br />
Forbedringer<br />
og generaliseringer<br />
Andre<br />
overflader<br />
Referencer<br />
Referencer<br />
K. Appel and W. Haken, Every planar map is four colorable.<br />
Part I. Discharging, Illinois J. Math. 21 (1977), 429-490.<br />
K. Appel, W. Haken and J. Koch, Every planar map is four<br />
colorable. Part II. Reducibility, Illinois J. Math. 21 (1977), 491–567.<br />
G. D. Birkhoff, The reducibility of maps, Amer. J. Math. 35<br />
(1913), 114-128.<br />
H. Heesch, Untersuchungen zum Vierfarbenproblem,<br />
Hochschulskriptum 810ab, Bibliographisches Institut, Mannheim<br />
1969.<br />
A. B. Kempe, On the geographical problem of the four colors,<br />
Amer. J. Math., 2 (1879), 193-200.<br />
N. Robertson, D. P. Sanders, P. D. Seymour and R.<br />
Thomas, The four colour theorem, J. Combin. Theory Ser. B. 70<br />
(1997), 2-44.<br />
T. L. SAATY, Thirteen colorful variations on Guthrie’s four-color<br />
conjecture, Amer. Math. Monthly 79 (1972), 2-43.<br />
Robin Wilson, Four Colors Suffice: How the Map Problem Was<br />
Solved (2003)
Change language