Lineær Algebra Differentialligninger

94
Heraf f˚as den fuldstændig løsning
Alts˚a med C arbitrær
y(x) = Ce A(x) + B(x)e A(x)
= Ce −2x + ( 1
2 x2 + 3
2 e2x )e −2x
y(x) = Ce −2x + 1
2 x2 e −2x + 3
2
I den partikulære løsning bestemmes den arbitrære konstant C ved betingelsen
y(0) = 2.
giver
I alt er den partikulære løsning
y(0) = Ce 0 + 3
= 2
2
C = 2 − 3 1
=
2 2
y(x) = 1
2 e−2x + 1
2 x2 e −2x + 3
2
y
1
0 1
Opgave 1. Grafen af løsningen
Opgave 2.[Opgave 5, Matematik Alfa 1, Januar 2003] Angiv den fuldstændige
løsning y(x) til differentialligningen (for x > 0)
y ′ + y
x = 2x−1 .
Angiv endvidere den løsning, der opfylder betingelsen y(2) = 5.
Løsning. Skriv ligningen p˚a formen
dy
dx
2
= −1 y +
x x
x