Lineær Algebra Differentialligninger

92
Eksempel 2. Differentialigningen
dy
dx
= 2xy
er en homogen lineær ligning. Den fuldstændige løsning er givet ved
a(x) = 2x, A(x) = 2xdx = x 2
hvor C er arbitrær.
y(x) = Ce x2
P˚a snedig vis reduceres den inhomogene ligning til et stamfunktionsproblem.
Der opn˚as en færdig formel for den fuldstændige løsning. Det er hovedresultatet
i dette afsnit. Efterfølgende samles fremgangsm˚aden i en klar metode.
Sætning 25 Den generelle lineœre ligning
har fuldstœndig løsning
hvor C er arbitrœr og
A(x) =
Bevis.
opfylder ligningen
som integreres til
og forlænges til
dy
= a(x)y + b(x)
dx
y(x) = Ce A(x) + B(x)e A(x)
a(x) dx, B(x) =
z(x) = e −A(x) y(x)
dz
dx = e−A(x) b(x)
z(x) = C + B(x)
y(x) = Ce A(x) + B(x)e A(x)
e −A(x) b(x) dx