Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
88<br />
(symmetrien af H P (f) fremg˚ar af “Clairaut’s Sætning”, [S] s. 773 eller af<br />
formel (14) s. 715 i [EP], for tilfældet n = 2.)<br />
Denne symmetriske matrix kan diagonaliseres, ifølge Spektralsætningen;<br />
indgangene i den diagonaliserede matrix er netop egenværdierne, og de giver<br />
information om maxima og minimima p˚a følgende m˚ade:<br />
Hvis alle egenværdier for H P (f) er positive, har funktionen f et lokalt<br />
minimum i P. Hvis alle egenværdier er negative, har f et lokalt maximum i<br />
P. Hvis der b˚ade forekommer positive og negative egenværdier, har f ikke et<br />
lokalt ekstremum i P.<br />
Dette udsagn indeholder “second derivative test”, [S] s. 812 Polynomiet<br />
1/2H P (f) indg˚ar som 2.grads led i 2. grads “Taylor Polynomium i flere variable”,<br />
som omtalt i “Discovery Project” s. 821 i [S].<br />
Opgaver<br />
Opgave 1. Verificer (evt. v.hj. af lommeregner) Cauchy-Schwarz’ ulighed for de<br />
to vektorer i R 4 givet ved (1,2,3,4) og (2,3,4,5). Udregn ogs˚a vinklen mellem<br />
dem.<br />
Opgave 2. Verificer (evt. v.hj. af lommeregner) trekantsuligheden for de to vektorer<br />
i R 4 givet ved (1,2,3,4) og (2,3,4,5).<br />
Opgave 3. Betragt funktionen f(x,y,z) = 2x 2 + 2y 2 + 2z 2 − xz. Undersøg, om<br />
den antager et lokalt ekstremum i (0,0,0).<br />
Opgave 4. Betragt funktionen<br />
f(x,y,z) = 3x 2 + 2y 2 + z 2 + 4xy + 4yz.<br />
Vis, at gradientvektoren af f i origo O er nulvektoren. Undersøg, om funktionen<br />
f(x,y,z) antager et ekstremum i O. (Vink: den halve Hesse matrix i origo har<br />
bl.a. tallet 5 som egenværdi.)<br />
Opgave 5. Udregn vinklen mellem vektorerne (3,5,8) og (5,8,13).<br />
14 <strong>Lineær</strong> differentialligning<br />
Den lineære 1. ordens differentialligning er den simpleste. Men den spiller en<br />
stor rolle, da den i princippet nemt kan løses og løsningen kan bruges til at<br />
tilnærme løsningen af en mere vanskelig differentialligning. Den lineære differentialligning<br />
defineres rimeligt præcist og den lineære struktur af løsningsmængden<br />
angives. Ligningen med konstante koefficienter er separabel og<br />
løses ved integration. Den generelle ligning reduceres p˚a analog m˚ade og en<br />
samlet formel angives. Resultaterne anvendes p˚a en populær opgavetype.