Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
13. ANDRE SÆTNINGER OM SKALARPRODUKT 87<br />
Opgave A. 1) Vis at (u,v) = (λ1u,λ2v) (hvor λ1 og λ2 er reelle tal > 0).<br />
2) Vis at (u,v) = 0 eller = π præcis hvis u og v er proportionale. 3) Vis at<br />
(u,v) = (v,u).<br />
Sætning 21 (Trekantsuligheden) For to vilk˚arlige vektorer u og v i R n gælder<br />
|u + v| ≤ |u| + |v|.<br />
Navnet “trekantsuligheden” kommer af, at i geometrisk vektorregning kan<br />
sætningen formuleres: en side i en trekant er højst s˚a stor som summen af de<br />
to andre sider; hvis to af siderne er u og v, s˚a er den tredie side jo u + v.<br />
Bevis. Da begge sider i den ønskede ulighed er ikke-negative tal, er det nok<br />
at vise uligheden med begge sider kvadreret:<br />
Vi regner p˚a venstre side, som jo er<br />
|u + v| 2 ≤ (|u| + |v|) 2 .<br />
(u + v) • (u + v) = u • u + v • v + 2u • v (45)<br />
ifølge regnereglerne (grundegenskaberne) ved •. Højre side af den ønskede ulighed<br />
er<br />
|u| 2 + |v| 2 + 2|u||v|. (46)<br />
Der er led, der forekommer b˚ade i (45) og (46), og fjerner vi dem, st˚ar vi tilbage<br />
med problemet at vise at<br />
2u • v ≤ 2|u||v|.<br />
Men det følger af Cauchy-Schwarz uligheden.<br />
2. ordens partielle afledede, og ekstremumsbestemmelse<br />
Lad f(x1, . . .,xn) være en (tilstrækkelig differentiabel) funktion f : R n →<br />
R. En nødvendig betingelse for at den har et lokalt ekstremum i et indre<br />
punkt P af sit definitionsomr˚ade er, at ∇P(f) = 0, hvor<br />
∇P(f) = ( ∂f<br />
∂x1<br />
, . . ., ∂f<br />
),<br />
∂xn<br />
hvor alle de partielle afledede skal evalueres i P. Hvis P er et punkt, hvor<br />
∇P(f) = 0, er det af interesse at betragte den symmetriske n × n matrix,<br />
H P (f) (“Hesse-matricen”) hvis ij’te indgang er<br />
∂2f (P);<br />
∂xixj