Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
1. KOORDINATVEKTORER 5<br />
span(u 1, u 2) = {(s, s, t, t) ∈ R 4 | s ∈ R, t ∈ R}.<br />
F.eks. er vektoren (1, 1, 1, 1) en vektor i span(u 1, u 2). Lad os kalde den u 3.<br />
Vektoren u 4 givet ved u 4 = (1, 1, −1, −1) er ogs˚a i span(u 1, u 2).<br />
Der gælder<br />
u1 = (1, 1, 0, 0) = 1 1<br />
(1, 1, 1, 1) + (1, 1, −1, −1),<br />
2 2<br />
u2 = (0, 0, 1, 1) = 1 1<br />
(1, 1, 1, 1) − (1, 1, −1, −1),<br />
2 2<br />
s˚a at u1 ∈ span(u3, u4) og u2 ∈ span(u3, u4). Da b˚ade u1 og u2 alts˚a er linearkombinationer<br />
af u3 og u4, og “linearkombinationer af linearkombinationer<br />
er linearkombinationer”, gælder ogs˚a at enhver linearkombination af u1 og<br />
u2 er en linearkombination af u3 , u4 . Eller: span(u1 , u2 ) ⊆ span(u3 , u4 ).<br />
Tilsvarende argumenteres for at span(u3, u4) ⊆ span(u1, u2). Alts˚a<br />
span(u 1, u 2) = span(u 3, u 4).<br />
Eksempel 6. Undersøg om vektoren (−2, 4, 10) tilhører span((1, 2, 3), (3, 2, 1)).<br />
Alts˚a, kan vi finde tal s og t s˚a at<br />
(−2, 4, 10) = s(1, 2, 3) + t(3, 2, 1)?<br />
Det er let at se, at s = 4, t = −2 klarer opgaven, men hvordan finder man<br />
passende koefficienter s og t hvis man ikke, som her, f˚ar dem foræret ? En<br />
systematisk metode er at stille problemet op som et s˚akaldt lineært ligningssystem;<br />
lineære ligningssystemer, og metode til løsning af dem vil blive behandlet<br />
i Afsnit 5 og 6.<br />
Eksempel 7. Undersøg om vektoren (−2, 4, 10) tilhører<br />
span((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)).<br />
Her er svaret ogs˚a ja, og det er let at finde koefficienter, der godtgør dette:<br />
det er vektorens egne koordinater, der kan bruges som koefficienter,<br />
(−2, 4, 10) = −2(1, 0, 0) + 4(0, 1, 0) + 10(0, 0, 1),<br />
det er en særlig egenskab ved sættet af de tre vektorer (1, 0, 0), (0, 1, 0) og<br />
(0, 0, 1). I [S] s. 657 kaldes de i,j og k. – Tilsvarende for en vilk˚arlig anden<br />
vektor a = (a1, a2, a3) ∈ R 3 ,<br />
a = a1(1, 0, 0) + a2(0, 1, 0) + a3(0, 0, 1).