Lineær Algebra Differentialligninger

1. KOORDINATVEKTORER 5
span(u 1, u 2) = {(s, s, t, t) ∈ R 4 | s ∈ R, t ∈ R}.
F.eks. er vektoren (1, 1, 1, 1) en vektor i span(u 1, u 2). Lad os kalde den u 3.
Vektoren u 4 givet ved u 4 = (1, 1, −1, −1) er ogs˚a i span(u 1, u 2).
Der gælder
u1 = (1, 1, 0, 0) = 1 1
(1, 1, 1, 1) + (1, 1, −1, −1),
2 2
u2 = (0, 0, 1, 1) = 1 1
(1, 1, 1, 1) − (1, 1, −1, −1),
2 2
s˚a at u1 ∈ span(u3, u4) og u2 ∈ span(u3, u4). Da b˚ade u1 og u2 alts˚a er linearkombinationer
af u3 og u4, og “linearkombinationer af linearkombinationer
er linearkombinationer”, gælder ogs˚a at enhver linearkombination af u1 og
u2 er en linearkombination af u3 , u4 . Eller: span(u1 , u2 ) ⊆ span(u3 , u4 ).
Tilsvarende argumenteres for at span(u3, u4) ⊆ span(u1, u2). Alts˚a
span(u 1, u 2) = span(u 3, u 4).
Eksempel 6. Undersøg om vektoren (−2, 4, 10) tilhører span((1, 2, 3), (3, 2, 1)).
Alts˚a, kan vi finde tal s og t s˚a at
(−2, 4, 10) = s(1, 2, 3) + t(3, 2, 1)?
Det er let at se, at s = 4, t = −2 klarer opgaven, men hvordan finder man
passende koefficienter s og t hvis man ikke, som her, f˚ar dem foræret ? En
systematisk metode er at stille problemet op som et s˚akaldt lineært ligningssystem;
lineære ligningssystemer, og metode til løsning af dem vil blive behandlet
i Afsnit 5 og 6.
Eksempel 7. Undersøg om vektoren (−2, 4, 10) tilhører
span((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)).
Her er svaret ogs˚a ja, og det er let at finde koefficienter, der godtgør dette:
det er vektorens egne koordinater, der kan bruges som koefficienter,
(−2, 4, 10) = −2(1, 0, 0) + 4(0, 1, 0) + 10(0, 0, 1),
det er en særlig egenskab ved sættet af de tre vektorer (1, 0, 0), (0, 1, 0) og
(0, 0, 1). I [S] s. 657 kaldes de i,j og k. – Tilsvarende for en vilk˚arlig anden
vektor a = (a1, a2, a3) ∈ R 3 ,
a = a1(1, 0, 0) + a2(0, 1, 0) + a3(0, 0, 1).