Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
13. ANDRE SÆTNINGER OM SKALARPRODUKT 85<br />
Opgave 10. Betragt følgende tre vektorer i R 4 :<br />
u 1 = (1,1,1,1),<br />
u 2 = (1,1,1, −1),<br />
u 3 = (1,1,1, −3).<br />
1) Undersøg hvilke af følgende udsagn der gælder:<br />
2) Det oplyses, at<br />
u 1 ⊥ u 2; u 1 ⊥ u 3; u 2 ⊥ u 3.<br />
span(u 1,u 2) = span(u 1,u 3) = span(u 2,u 3)<br />
(bevis herfor kræves ikke). Dette lineære underrum af R 4 betegnes U. Lad v være<br />
vektoren (0,0,6,6). Angiv den ortogonale projektion projU(v) af v p˚a U.<br />
Opgave 11. Lad U betegne løsningsrummet for det homogene lineære ligningssystem<br />
2x1 +x2 −x3 −x4 = 0<br />
6x1 −x2 +x3 +x4 = 0 .<br />
Vis, at den ortogonale projektion af vektoren (−6,4,1,0) p˚a U er (0,3,2,1).<br />
Opgave 12. Betragt vektorerne u 1 = (0,1,0), u 2 = (1,1,0) og v = (1,1,1) i R 3 .<br />
Lad U = span(u 1 ,u 2 ). Overvej at proj U(v) = (1,1,0). Vis at proj u1 (v) = (0,1,0)<br />
og proj u2 (v) = (1,1,0). Slut heraf at proj U(v) = proj u1 (v) + proj u2 (v). Hvorfor<br />
strider dette ikke mod Sætning 17?<br />
13 Andre sætninger om skalarprodukt<br />
Sætning 20 (Cauchy-Schwarz 8 ) For to vilk˚arlige vektorer u og v i R n gælder<br />
|u • v| 2 ≤ |u| 2 |v| 2<br />
og dermed, (ved roduddragning p˚a begge sider af ulighedstegnet),<br />
|u • v| ≤ |u| · |v|.<br />
Der gælder lighedstegn hvis og kun hvis u og v er proportionale, dvs. hvis<br />
u = λv eller v = λu.<br />
8 eller Cauchy-Schwarz- Bunyakovsky