Lineær Algebra Differentialligninger

13. ANDRE SÆTNINGER OM SKALARPRODUKT 85
Opgave 10. Betragt følgende tre vektorer i R 4 :
u 1 = (1,1,1,1),
u 2 = (1,1,1, −1),
u 3 = (1,1,1, −3).
1) Undersøg hvilke af følgende udsagn der gælder:
2) Det oplyses, at
u 1 ⊥ u 2; u 1 ⊥ u 3; u 2 ⊥ u 3.
span(u 1,u 2) = span(u 1,u 3) = span(u 2,u 3)
(bevis herfor kræves ikke). Dette lineære underrum af R 4 betegnes U. Lad v være
vektoren (0,0,6,6). Angiv den ortogonale projektion projU(v) af v p˚a U.
Opgave 11. Lad U betegne løsningsrummet for det homogene lineære ligningssystem
2x1 +x2 −x3 −x4 = 0
6x1 −x2 +x3 +x4 = 0 .
Vis, at den ortogonale projektion af vektoren (−6,4,1,0) p˚a U er (0,3,2,1).
Opgave 12. Betragt vektorerne u 1 = (0,1,0), u 2 = (1,1,0) og v = (1,1,1) i R 3 .
Lad U = span(u 1 ,u 2 ). Overvej at proj U(v) = (1,1,0). Vis at proj u1 (v) = (0,1,0)
og proj u2 (v) = (1,1,0). Slut heraf at proj U(v) = proj u1 (v) + proj u2 (v). Hvorfor
strider dette ikke mod Sætning 17?
13 Andre sætninger om skalarprodukt
Sætning 20 (Cauchy-Schwarz 8 ) For to vilk˚arlige vektorer u og v i R n gælder
|u • v| 2 ≤ |u| 2 |v| 2
og dermed, (ved roduddragning p˚a begge sider af ulighedstegnet),
|u • v| ≤ |u| · |v|.
Der gælder lighedstegn hvis og kun hvis u og v er proportionale, dvs. hvis
u = λv eller v = λu.
8 eller Cauchy-Schwarz- Bunyakovsky