Lineær Algebra Differentialligninger

84
og
span((1, 1, 1), (1, 2, 3)) = span((1, 1, 1), (−1, 0, 1)).
Men da u ⊥ w og span(u, w) = U, kan Sætning 17 bruges til at finde
projU(x). – Metoden kan generaliseres til U af højere dimension end 2
(“Gram-Schmidts algoritme”).
Opgaver
Opgave 1. Angiv proju(v), og projv(u) , hvor u = (1,2,3), v = (3,1,2).
Opgave 2. Angiv proju(v), og projv(u) , hvor u = (1,2), v = (2,1).
Opgave 3. Angiv proju(v), og projv(u) , hvor u = (−1,3), v = (4,4).
Opgave 4. Angiv proju(v), og projv(u) , hvor u = (1, −2,3), v = (0,1, −1).
Opgave 5. Angiv proju(v), og projv(u) , hvor u = (0,3,1, −6), v = (−1,2,1,2).
Opgave 6. Lad U være det lineære underrum af R 4 , som er udspændt af de to
vektorer u = (1,2,3,4) og v = (13, −7,9,1). Lad x = (1,0,0,0). Angiv projU(x).
Opgave 7. Betragt det homogene lineære ligningssystem
x + 2y + 3z = 0
4x + 5y + 6z = 0 .
1) Angiv dets løsningsrum U.
2) Angiv den ortogonale projektion af vektoren v = (7,9, −1) p˚a U.
Opgave 8. Lad u og v betegne vektorerne i R 4 givet ved
u = (−3, −1,1,3)
v = (1,1,1,1).
Lad U ⊆ R 4 betegne det lineære underrum span(u,v). Bestem den vektor i U,
der har kortest afstand til vektoren w givet ved
w = (2, −1,4,7).
Opgave 9. Betragt det lineære underrum U = span(u 1,u 2) ⊆ R 4 , hvor
u 1 = (1,0,0,0)
u 2 = (0,1,1,1).
Angiv den vektor u i U, der har kortest afstand til vektoren v = (3,3,0,0), og
angiv talværdien for denne afstand.