Lineær Algebra Differentialligninger

12. ORTOGONAL PROJEKTION 83
Med notation fra foreg˚aende eksempel, er alts˚a
x = (1, 2, 3) og y = (3, 3.6, 6).
Vi ønsker at projicere y ortogonalt p˚a underrummet
U = span((1, 2, 3), (1, 1, 1)).
Til den ende f˚ar vi brug for Sætning 17: Vi skaffer os et ortogonalt sæt af
vektorer, der udspænder U: vi kan bruge sættet best˚aende af de to vektorer
(1, 1, 1) og (−1, 0, 1). Men det er nemt at se, at sættet (1, 1, 1), (−1, 0, 1)
udspænder det samme som (1, 1, 1), (1, 2, 3), f.eks. er (1, 2, 3) = 2(1, 1, 1) +
(−1, 0, 1)). Nu kan Sætning 17 anvendes til at finde den ønskede projU(y),
det giver
m(1, 1, 1) + r(−1, 0, 1),
hvor m er middelværdien 4.2 af yi’erne, (jvf. Eksempel 2) og r er tallet
(−1, 0, 1) · (3, 3.6, 6)
= 1.5.
(−1, 0, 1) · (−1, 0, 1)
Det sæt værdier, med hvilket sættet (y1, y2, y3) = (3, 3.6, 6) bliver erstattet
ved lineær regression, er alts˚a sættet
(z1, z2, z3) = 4.2(1, 1, 1) + 1.5(−1, 0, 1) = (4.2 − 1.5, 4.2, 4.2 + 1.5).
(Den linie, der g˚ar gennem de fundne (xi, zi)’er, alts˚a gennem (1, 2.7), (2, 4.2),
og (3, 5.7) ses at være linien med ligning z = 1.5x + 1.2, det er alts˚a “regressionslinien”
for de givne tre punkter.)
12.2 Projektion p˚a 2-dimensionale underrum
Hvis U ⊆ R n er et 2-dimensonalt lineært underrum, dvs. udspændt af to
ikke-parallelle vektorer u og v, giver Sætning 17 ikke umiddelbart mulighed
for at finde projU(x), medmindre u ⊥ v. (Vi stødte allerede p˚a dette problem
i forbindelse med lineær regression.) Men givet u og v, der udspænder U, s˚a
kan vi let udskifte v med en ny vektor w, s˚adan at u og w ogs˚a udspænder
U, men s˚adan at der desuden gælder u ⊥ w: tag nemlig w til at være
restvektoren ved projektion af v p˚a u. Det var hvad vi gjorde i Eksempel 7:
restvektoren w er
proj(1,1,1)((1, 2, 3)) = (2, 2, 2),
(1, 2, 3) − (2, 2, 2) = (−1, 0, 1),