Lineær Algebra Differentialligninger

82
Dette tal er ikke det, der minimerer fejlsummen. Fejlsummen hørende til 7.4
er
0.3 + 0.1 + 0.2 = 0.6,
mens tallet 7.5 giver en mindre fejlsum,
0.4 + 0.0 + 0.1 = 0.5.
Eksempel 6. (Lineær regression). Antag at der er plottet n punkter ind i
koordinatplanen: (x1, y1), . . .,(xn, yn). Find den rette linie (“regressionslinien”),
der “bedst approximerer” plottet. (Emnet er berørt, og der er nogen
billeder hertil, i [S] s. 28. (Billederne var bedre i den tidligere udgave af [S],
s. 76-78.))
Dette er en opgave, der forekommer tit i praksis, og selv forholdsvis sm˚a
lommeregnere har en funktion, der kan finde den p˚agældende linie ax +
b. Ogs˚a her er det en afstand, der minimeres, ved hjælp af en ortogonal
projektion.
Vi forestiller os xi’erne faste, – i et evt. eksperiment er de parametrene,
som vi selv er herre over. Derimod er yi resultatet af den m˚aling, der har xi
som parameter. Vi ønsker at finde tal a og b, s˚a at sættet af tal
z1 = ax1 + b, z2 = ax2 + b, . . .,zn = axn + b (44)
bedst muligt approximerer det observerede sæt y1, . . .,yn.
Sættet y = (y1, . . .,yn) definerer et punkt i R n . Mængden af talsæt
z = (z1, . . .,zn) (= punkter i R n ), der fremkommer ud fra de givne x1, . . ., xn
ved hjælp af et eller andet a og b, som i (44), udgør et linært underrum U af
R n . Det er nemlig underrummet udspændt af de to vektorer
vi kan jo skrive (44) p˚a formen
x = (x1, . . .,xn) og e = (1, . . ., 1);
z = ax + be.
(Underrummet U er et to-dimensionalt underrum, medmindre alle xi’erne er
ens.) Den ortogonale projektion af y p˚a U leverer os z, og dermed a og b.
Vi illustrerer med et eksempel (der bør ledsages af en tegning p˚a ternet
papir).
Eksempel 7. Tegn følgende tre punkter i planen:
(1, 3), (2, 3.6), (3, 6).