Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
12. ORTOGONAL PROJEKTION 81<br />
12.1 Mindste kvadraters metode<br />
Længden af en vektor i R n er en kvadratrod af en kvadratsum,<br />
a 2 i .<br />
Da kvadratrodsdannelse er en voksende funktion, er det at minimere kvadratroden<br />
af kvadratsummen ensbetydende med at minimere kvadratsummen<br />
selv, alts˚a ensbetydende med at minimere a2 i . En metode, der g˚ar ud p˚a<br />
at minimere en afstand i Rn , omtales derfor ogs˚a som en mindste kvadraters<br />
metode, efter Gauss, 1777-1855.<br />
Eksempel 4. Der foreligger en m˚aleserie p˚a n m˚alinger y1, . . .,yn af en og<br />
samme størrelse, f.eks. vægten af en meteorit. Hvilket tal y skal rapporten<br />
angive som meteorittens observerede vægt? Normalt gennemsnitsværdien<br />
(ogs˚a kaldet middelværdien)<br />
m = 1<br />
n (y1 + . . . + yn).<br />
Det er ogs˚a hvad mindste kvadraters metode giver: Vi kan opstille problemet<br />
geometrisk p˚a følgene m˚ade: vi ønsker at projicere vektoren y =<br />
(y1, . . .,yn) ∈ R n ortogonalt p˚a det 1-dimensionale lineære underrum udspændt<br />
af vektoren (1, 1, . . ., 1); denne projektion minimerer jo afstanden<br />
fra y ind til rummet af vektorer af form (y, y, . . ., y) (som jo er den form,<br />
det ideelle resultat af n m˚alinger af en og samme samme størrelse m˚a have).<br />
Formlen for ortogonal projektion giver<br />
(1, . . .,1) · (y1, . . .,yn)<br />
(1, . . .1) = m(1, . . .1) = (m, . . .,m)<br />
(1, . . .,1) · (1, . . .,1)<br />
med koefficienten m = brøken i ovennævnte udtryk, som netop udregnes til<br />
at være gennemsnitsværdien af yi’erne, jvf. Eksempel 2.<br />
Gennemsnitsværdi fremkommer alts˚a ved at minimere en afstand, alts˚a<br />
ogs˚a ved at minimere en kvadratsum.<br />
Man kunne ogs˚a med rimelighed som resultat af m˚aleserien have valgt et<br />
tal m ′ , der minimerer “summen af fejlene”, dvs. et tal m ′ , der minimerer<br />
| yi −m ′ |. S˚adant m ′ er ikke entydigt bestemt, og er i reglen noget andet<br />
end gennemsnittet m, som følgende taleksempel viser.<br />
Eksempel 5. Der er foretaget tre m˚alinger af en vis fysisk størrelse, de<br />
har som resultat givet henholdsvis 7.1, 7.5, 7.6. Hvilket tal skal man angive i<br />
rapporten? Mindste kvadraters metode giver tallenes gennemsnitsværdi, 7.4.