Lineær Algebra Differentialligninger

12. ORTOGONAL PROJEKTION 81
12.1 Mindste kvadraters metode
Længden af en vektor i R n er en kvadratrod af en kvadratsum,
a 2 i .
Da kvadratrodsdannelse er en voksende funktion, er det at minimere kvadratroden
af kvadratsummen ensbetydende med at minimere kvadratsummen
selv, alts˚a ensbetydende med at minimere a2 i . En metode, der g˚ar ud p˚a
at minimere en afstand i Rn , omtales derfor ogs˚a som en mindste kvadraters
metode, efter Gauss, 1777-1855.
Eksempel 4. Der foreligger en m˚aleserie p˚a n m˚alinger y1, . . .,yn af en og
samme størrelse, f.eks. vægten af en meteorit. Hvilket tal y skal rapporten
angive som meteorittens observerede vægt? Normalt gennemsnitsværdien
(ogs˚a kaldet middelværdien)
m = 1
n (y1 + . . . + yn).
Det er ogs˚a hvad mindste kvadraters metode giver: Vi kan opstille problemet
geometrisk p˚a følgene m˚ade: vi ønsker at projicere vektoren y =
(y1, . . .,yn) ∈ R n ortogonalt p˚a det 1-dimensionale lineære underrum udspændt
af vektoren (1, 1, . . ., 1); denne projektion minimerer jo afstanden
fra y ind til rummet af vektorer af form (y, y, . . ., y) (som jo er den form,
det ideelle resultat af n m˚alinger af en og samme samme størrelse m˚a have).
Formlen for ortogonal projektion giver
(1, . . .,1) · (y1, . . .,yn)
(1, . . .1) = m(1, . . .1) = (m, . . .,m)
(1, . . .,1) · (1, . . .,1)
med koefficienten m = brøken i ovennævnte udtryk, som netop udregnes til
at være gennemsnitsværdien af yi’erne, jvf. Eksempel 2.
Gennemsnitsværdi fremkommer alts˚a ved at minimere en afstand, alts˚a
ogs˚a ved at minimere en kvadratsum.
Man kunne ogs˚a med rimelighed som resultat af m˚aleserien have valgt et
tal m ′ , der minimerer “summen af fejlene”, dvs. et tal m ′ , der minimerer
| yi −m ′ |. S˚adant m ′ er ikke entydigt bestemt, og er i reglen noget andet
end gennemsnittet m, som følgende taleksempel viser.
Eksempel 5. Der er foretaget tre m˚alinger af en vis fysisk størrelse, de
har som resultat givet henholdsvis 7.1, 7.5, 7.6. Hvilket tal skal man angive i
rapporten? Mindste kvadraters metode giver tallenes gennemsnitsværdi, 7.4.