Lineær Algebra Differentialligninger

12. ORTOGONAL PROJEKTION 79
Venstre side udregnes: vi skriver proju j (v) = λju j, og regner:
u 1 • (v −
k
λjuj) = u1 • v −
j=1
k
λj(u1 • uj); men i summen k
j=1 overlever kun det første led, da u 1 •u 2 = 0, . . ., u 1 •u k =
0, p˚a grund af forudsætningen om at u 1 er ortogonal p˚a de øvrige u’er.
Udtrykket bliver alts˚a lig
u 1 • v − λ1(u 1 • u 1) = u 1 • (v − λ1u 1) = u 1 • (v − proju 1 (v)),
men det er 0, da jo den sidste parentes her netop er restvektoren ved v’s
ortogonale projektion p˚a u 1.
Eksempel 3. Betragt vektorerne
j=1
u 1 = (1, 1
2 , 0, −1) og u 2 = (2, 2, −1, 3)
i R 4 .
1. Gør rede for, at u 1 og u 2 er indbyrdes ortogonale.
2. Lad U betegne det lineære underrum af R 4 udspændt af u 1 og u 2.
Angiv den ortogonale projektion af vektoren v = (2, 2, 8, −6) p˚a det lineære
underrum U.
Kommenteret besvarelse af spørgsm˚al 2. P˚a grund af resultatet fra
spørgsm˚al 1 kan (43) anvendes, dvs. vi kommer til at bruge formel (42)
to gange, og f˚ar heri brug for at udregne følgende tal: u1 · v, u1 · u1, u2 · v, og
u2 · u2. De udregnes til henholdsvis 9, 9,
−18, 18. S˚a er
4
projU(v) = 9
9/4 u 1 + −18
18 u 2
= (4, 2, 0, −4) − (2, 2, −1, 3) = (2, 0, 1, −7).
Bemærkning 1. Ortogonal projektion p˚a et lineært underrum U ⊆ V (hvor
V f.eks. er R n ) definerer en lineær afbildning V → U (der efter behov kan
opfattes som en lineær afbildning V → U eller som en lineær afbildning
V → V ).
Bemærkning 2. For det 3-dimensionale vektorrum R 3 (udstyret med det
sædvanlige prikprodukt som skalarprodukt) kan man med fordel udnytte
“kryds-produkt” (“vector product”, jvf. [S] 9.4) i forbindelse med ortogonal
projektion. Det fungerer kun for det 3-dimensionale tilfælde, og har derfor
ingen særlig betydning f.eks. i forbindelse med anvendelsen af ortogonal
projektion i statistik.