Lineær Algebra Differentialligninger

78
Eksempel 2. Giv en formel for den ortogonale projektion af (y1, y2, y3, y4) ∈
R 4 ind p˚a underrummet udspændt af vektoren e = (1, 1, 1, 1). Da e • y =
y1 + y2 + y3 + y4 og e • e = 4, giver formlen (41), at projektionen er λe, hvor
λ = y1 + y2 + y3 + y4
,
4
alts˚a netop gennemsnitsværdien (middeltallet) af yi’erne. (Tilsvarende gælder
selvfølgelig ogs˚a for y ∈ R n , for andre n.)
Vi diskuterer nu ortogonal projektion af en vektor v ∈ V p˚a et lineært
underrum U ⊆ V , der har dimension højere end 1. (Begreberne dimension,
basis, udspænder, span, berøres mere omhyggeligt i videreg˚aende lineær algebra.)
Vi forudsætter, at vi allerede har et sæt u 1, . . ., u k af indbyrdes ortogonale
vektorer, der udspænder underrummet U. Det betyder, at U best˚ar af de
vektorer i V , der kan skrives som linearkombination af vektorerne u 1, . . .,u k.
Sætning 17 Lad u 1, . . ., u k ∈ V være indbyrdes ortogonale egentlige vektorer.
Antag at de udspænder underrummet U ⊆ V . S˚a gælder
for vilk˚arlig v ∈ V .
projU(v) =
k
proju (v), (43)
j
j=1
(Formlen (43) vil i reglen være forkert, hvis u j’erne ikke er indbyrdes ortogonale.
Det er let at give eksempler herp˚a i det tre-dimensionale geometriske
vektorrum, med U et to-dimensionalt underrum (en plan gennem Origo).)
Bevis for Sætningen. Da proju j (v) er af form λju j for passende λj, er
højre side i (43) en linearkombination af u j’erne, alts˚a en vektor i
span(u 1, . . .,u k) = U. Det er derfor nok at vise, at rest-vektoren
v −
k
proju (v) j
j=1
er ⊥ U. Ifølge tømrerprincippet er det nok at se, at den er ⊥ p˚a hver
af u 1, . . .,u k. Lad os f.eks. vise, at den er ⊥ u 1 (det g˚ar lige s˚adan med
u 2, . . ., u k). Vi skal alts˚a vise
u 1 • (v −
k
proju (v)) = 0.
j
j=1