Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
12. ORTOGONAL PROJEKTION 77<br />
Nævneren er = 0, da a var en egentlig vektor. Vi har nu gennemført det,<br />
der i matematikkens metodelære kaldes en analyse: hvis der er en ortogonal<br />
projektion af v p˚a linien udspændt af a, m˚a den være af form u = λa med<br />
λ = den fundne brøk; alts˚a<br />
u =<br />
a • v<br />
a. (41)<br />
a • a<br />
Efter en analyse følger en syntese. Det vil her sige, at vi efterprøver, om<br />
den vektor (41), vi har analyseret os frem til, virkelig opfylder kravet for<br />
ortogonal projektion. Det vil sige, at vi efterprøver om restvektoren v − u<br />
(med u givet ved (41)) er ⊥ U, og til dette er det nok at efterse om<br />
a • (v −<br />
a • v<br />
a) = 0;<br />
a • a<br />
det er en let regning at vise dette (i det væsentlige en regning, vi allerede<br />
har gennemført).<br />
Vi kan opsummere den udledte formel for ortogonal projektion p˚a det<br />
1-dimensionale underrum U = span(a):<br />
proja(v) =<br />
a • v<br />
a • a a. (42)<br />
(sammenlign iøvrigt med [S] s. 665.)<br />
Læg mærke til, at a forekommer fire gange, to gange i nævneren og to<br />
gange i “tælleren”; s˚a hvis vi udskifter a med en vektor af form ta, (t =<br />
0)“hæver de fire t’er hinanden”, og vi f˚ar samme resultat. S˚adan skulle det<br />
jo ogs˚a gerne være: a og ta udspænder jo samme 1-dimensionale underrum<br />
U, og den ortogonale projektion af v p˚a U afhænger kun af v og U.<br />
Eksempel 1. Find den ortogonale projektion af vektoren v = (1, 18) ∈ R 2<br />
p˚a det lineære underrum U udpændt af a = (3, 4). Hvis vi vil bruge formlen<br />
(42), f˚ar vi brug for a·v = (3, 4)·(1, 18) = 75 og a·a = (3, 4)·(3, 4) = 25. (Vi<br />
skriver her, og visse andre steder senere, skalarproduktet med en almindelig<br />
prik, · i stedet for med •.) Formlen (42) giver s˚a<br />
projU(v) = proja(v) = 75<br />
a = 3a = (9, 12).<br />
25<br />
Vi kan gøre prøve ved at indse, at ((1, 18) − (9, 12)) · (3, 4) = 0.<br />
Det kan anbefales, som en øvelse, at udregne nogle forskellige “proja(v)’er”<br />
i R 2 , og samtidig tegne de indg˚aende vektorer op p˚a ternet papir.