Lineær Algebra Differentialligninger

4
N˚ar man har en sammenhæng, hvor det giver mening at tale om linearkombinationer,
taler man om et lineært rum eller et vektorrum, – forudsat at
de samme regneregler, som gælder for linearkombinationer af koordinatvektorer,
er opfyldt. S˚adanne regneregler er sammenfattet i [S] s. 656 under
overskriften “Properties of Vectors”.
1.2 Span
Givet et sæt af vektorer u 1 , . . ., u k i vektorrummet R n . S˚a defineres deres
span til at være mængden af alle vektorer v i R n , der kan skrives som linearkombination
af u i’erne
v = t1u 1 + . . . + tku k.
Tilfældet k = 1: span(u 1) er mængden af vektorer af form t1u 1,
span(u 1) = {t1u 1 ∈ R n | t1 ∈ R}.
Det er linien gennem origo med u 1 som retningsvektor (forudsat at u 1 er en
egentlig vektor, og at vi tillader os selv at tale geometrisk, – dette giver i det
mindste god mening hvis dimensionen n er 2 eller 3.)
Tilfældet k = 2: span(u 1, u 2) er mængden af vektorer af form t1u 1 + t2u 2,
span(u 1, u 2) = {t1u 1 + t2u 2 ∈ R n | t1 ∈ R, t2 ∈ R}.
Geometrisk er det planen udspændt af u 1 og u 2: Mast og bom p˚a et sejlskib
udspænder en plan, nemlig sejlets plan – hvis sejlet ellers er spændt
stramt. Heraf ordet span. Man kan tænke p˚a sættet u 1, u 2 som et sæt af
“retningsvektorer” for den plan, de udspænder.
Men der er en vigtig forskel: mens to retningsvektorer for en linie kun
adskiller sig ved deres længde (og evt. orientering), er der en meget større
vilk˚arlighed i angivelse af et sæt u 1, u 2, der udspænder en given plan. Derfor
angiver man tit, i R 3 , en plans retning ved at angive en normalvektor til planen,
jvf. [S] s. 679, men denne metode er ikke tilgængelig i andre dimensioner
end 3.
Eksempel 5. Betragt vektorerne u 1 = (1, 1, 0, 0) og u 2 = (0, 0, 1, 1) i R 4 .
S˚a er span(u 1, u 2) mængden af vektorer i R 4 af form
hvor s ∈ R, t ∈ R er vilk˚arlige, alts˚a
su 1 + tu 2 = (s, s, 0, 0) + (0, 0, t, t),