Lineær Algebra Differentialligninger

12. ORTOGONAL PROJEKTION 75
udspænder U, kan u skrives u = n
j=1 λjx j, og s˚a er
w • u = w •
n
λjxj =
j=1
n
λj(w • xj), det sidste lighedstegn p.gr. af regnereglerne for •. Men hvert led i denne sum
er 0, fordi w ⊥ x j for alle x j ∈ X. (Vi har kaldt dette princip “tømrerprincippet”
af følgende grund: n˚ar en tømrer skal se om en stolpe w st˚ar vinkelret
p˚a en plan U, tester han bare, at w st˚ar vinkelret p˚a to passende vektorer x 1
og x 2 i U. (“Passende” vil sige, at de udspænder planen, og det vil de gøre,
bare de ikke er parallele.)
Opgaver
Opgave 1. Vis at en vektor x ∈ R n er løsning til et homogent lineært ligningssystem
A · x = 0 præcis hvis x er vinkelret p˚a samtlige rækkevektorer i matricen
A.
Opgave 2. Vis, at hvis X ⊆ R n er en vilk˚arlig delmængde, s˚a er X ⊆ (X ⊥ ) ⊥ .
(Det er i reglen en ægte delmængde; for, (X ⊥ ) ⊥ er jo et lineært underrum af R n ,
og dermed en uendelig mængde (eller lig {0}). Beskriv med geometriske ord X ⊥
og (X ⊥ ) ⊥ i tilfældet hvor n = 3 og X = {e 1 ,e 2 }. Hvis x er en egentlig vektor i
R 3 , s˚a er {x} ⊥ en plan, og x er en normalvektor til denne plan; ({x} ⊥ ) ⊥ er linien
med x som retningsvektor; alts˚a lig med span(x). – Man kan godt tillade sig at
skrive x ⊥ i stedet for {x} ⊥ .
12 Ortogonal projektion
Hvis U er et lineært underrum af V = R n , kan vi samtidig betragte de to
lineære underrum U og U ⊥ . (Eksempel: underrummene “lodret” og “vandret”
af V = det tredimensionale geometriske rum.) Det er p˚a forh˚and klart,
at U ∩ U ⊥ = {0}, da 0 er den eneste vektor, der er vinkelret p˚a sig selv.
At projicere en vektor v ortogonalt p˚a underrummet U vil sige at skrive
v som sum
v = u + w med u ∈ U og w ∈ U ⊥ .
Man siger s˚a, at u er den ortogonale projektion af v p˚a underrummet U
(og at w er “restvektoren” ved denne projektion). (I geometriske vektorrum
fremkommer u ved at nedfælde v vinkelret p˚a U.)
— Det giver mening at tale om u som den ortogonale projektion af v p˚a
U, for det er let at se, at den er entydigt bestemt. Hvis vi nemlig p˚a to m˚ader
j=1