Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
12. ORTOGONAL PROJEKTION 75<br />
udspænder U, kan u skrives u = n<br />
j=1 λjx j, og s˚a er<br />
w • u = w •<br />
n<br />
λjxj =<br />
j=1<br />
n<br />
λj(w • xj), det sidste lighedstegn p.gr. af regnereglerne for •. Men hvert led i denne sum<br />
er 0, fordi w ⊥ x j for alle x j ∈ X. (Vi har kaldt dette princip “tømrerprincippet”<br />
af følgende grund: n˚ar en tømrer skal se om en stolpe w st˚ar vinkelret<br />
p˚a en plan U, tester han bare, at w st˚ar vinkelret p˚a to passende vektorer x 1<br />
og x 2 i U. (“Passende” vil sige, at de udspænder planen, og det vil de gøre,<br />
bare de ikke er parallele.)<br />
Opgaver<br />
Opgave 1. Vis at en vektor x ∈ R n er løsning til et homogent lineært ligningssystem<br />
A · x = 0 præcis hvis x er vinkelret p˚a samtlige rækkevektorer i matricen<br />
A.<br />
Opgave 2. Vis, at hvis X ⊆ R n er en vilk˚arlig delmængde, s˚a er X ⊆ (X ⊥ ) ⊥ .<br />
(Det er i reglen en ægte delmængde; for, (X ⊥ ) ⊥ er jo et lineært underrum af R n ,<br />
og dermed en uendelig mængde (eller lig {0}). Beskriv med geometriske ord X ⊥<br />
og (X ⊥ ) ⊥ i tilfældet hvor n = 3 og X = {e 1 ,e 2 }. Hvis x er en egentlig vektor i<br />
R 3 , s˚a er {x} ⊥ en plan, og x er en normalvektor til denne plan; ({x} ⊥ ) ⊥ er linien<br />
med x som retningsvektor; alts˚a lig med span(x). – Man kan godt tillade sig at<br />
skrive x ⊥ i stedet for {x} ⊥ .<br />
12 Ortogonal projektion<br />
Hvis U er et lineært underrum af V = R n , kan vi samtidig betragte de to<br />
lineære underrum U og U ⊥ . (Eksempel: underrummene “lodret” og “vandret”<br />
af V = det tredimensionale geometriske rum.) Det er p˚a forh˚and klart,<br />
at U ∩ U ⊥ = {0}, da 0 er den eneste vektor, der er vinkelret p˚a sig selv.<br />
At projicere en vektor v ortogonalt p˚a underrummet U vil sige at skrive<br />
v som sum<br />
v = u + w med u ∈ U og w ∈ U ⊥ .<br />
Man siger s˚a, at u er den ortogonale projektion af v p˚a underrummet U<br />
(og at w er “restvektoren” ved denne projektion). (I geometriske vektorrum<br />
fremkommer u ved at nedfælde v vinkelret p˚a U.)<br />
— Det giver mening at tale om u som den ortogonale projektion af v p˚a<br />
U, for det er let at se, at den er entydigt bestemt. Hvis vi nemlig p˚a to m˚ader<br />
j=1