Lineær Algebra Differentialligninger

10. DIAGONALISERING 71
Udregn specielt indgangen med adresse (1, 1) i denne matrix. Lad os kalde
dette tal 6 fq. Facit kan tage sig noget forskelligt ud, fordi der gælder s˚a
mange ligninger mellem potenserne af φ; en af de mulige rigtige facit er
fq = 1
1 + φ 2(φq + (−1) q φ 2−q ).
Man kan empirisk lave en delvis kontrol af sit facit ved at at udregne det p˚a
lommeregner, med brug af φ = 1.62, eller bedre, φ = 1.618. S˚a skulle q = 8
give et tal nær 13, q = 9 skulle give et tal nær 21, osv. Alts˚a Fibonaccitallene,
der er de tal, der fremkommer som indgange i de potenserne F q af
Fibonacci-matricen F. Bruger man den eksakte værdi for φ, φ = (1+ √ 5)/2,
f˚as Fibonacci-tallene eksakt, - men lommeregneren kan ikke regne eksakt med
√ 5.
– En mere “symmetrisk” opskrivning f˚as ved at sætte en faktor φ uden
for parentesen,
fq = φ
1 + φ 2(φq−1 + (−1) q φ 1−q )
=
1
φ + φ −1(φq−1 + (−1) q φ 1−q ).
Da φ > 1, vil andet led (−1) q φ 1−q betyde mindre og mindre, n˚ar q bliver
stor. – Sætter vi q = p + 1 kan udtrykket ogs˚a skrives
fp+1 = φp − (−φ) −p
φ + φ−1 .
Bruger vi notationen fra fodnoten F(q − 1) = fq, og sætter p = q − 1, kan
resultatet skrives endnu pænere
Opgaver
Opgave 1. Diagonaliser matricen
F(p) = φp − (−φ) −p
φ + φ−1 .
A =
16 −6
40 −15
(Der ønskes angivet B, B −1 og Λ s˚a at B −1 · A · B = Λ.)
6 I litteraturen kaldes det som regel F(q − 1); alts˚a F(q) = (1, 1)-indgangen i F q+1
.