Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
10. DIAGONALISERING 71<br />
Udregn specielt indgangen med adresse (1, 1) i denne matrix. Lad os kalde<br />
dette tal 6 fq. Facit kan tage sig noget forskelligt ud, fordi der gælder s˚a<br />
mange ligninger mellem potenserne af φ; en af de mulige rigtige facit er<br />
fq = 1<br />
1 + φ 2(φq + (−1) q φ 2−q ).<br />
Man kan empirisk lave en delvis kontrol af sit facit ved at at udregne det p˚a<br />
lommeregner, med brug af φ = 1.62, eller bedre, φ = 1.618. S˚a skulle q = 8<br />
give et tal nær 13, q = 9 skulle give et tal nær 21, osv. Alts˚a Fibonaccitallene,<br />
der er de tal, der fremkommer som indgange i de potenserne F q af<br />
Fibonacci-matricen F. Bruger man den eksakte værdi for φ, φ = (1+ √ 5)/2,<br />
f˚as Fibonacci-tallene eksakt, - men lommeregneren kan ikke regne eksakt med<br />
√ 5.<br />
– En mere “symmetrisk” opskrivning f˚as ved at sætte en faktor φ uden<br />
for parentesen,<br />
fq = φ<br />
1 + φ 2(φq−1 + (−1) q φ 1−q )<br />
=<br />
1<br />
φ + φ −1(φq−1 + (−1) q φ 1−q ).<br />
Da φ > 1, vil andet led (−1) q φ 1−q betyde mindre og mindre, n˚ar q bliver<br />
stor. – Sætter vi q = p + 1 kan udtrykket ogs˚a skrives<br />
fp+1 = φp − (−φ) −p<br />
φ + φ−1 .<br />
Bruger vi notationen fra fodnoten F(q − 1) = fq, og sætter p = q − 1, kan<br />
resultatet skrives endnu pænere<br />
Opgaver<br />
Opgave 1. Diagonaliser matricen<br />
F(p) = φp − (−φ) −p<br />
φ + φ−1 .<br />
A =<br />
16 −6<br />
40 −15<br />
(Der ønskes angivet B, B −1 og Λ s˚a at B −1 · A · B = Λ.)<br />
6 I litteraturen kaldes det som regel F(q − 1); alts˚a F(q) = (1, 1)-indgangen i F q+1<br />
<br />
.