Lineær Algebra Differentialligninger

68
Eksempel 2. Lad matricen A være som i Eksempel 1. Udregn A 5 . Vi f˚ar
her brug for at diagonalisere A; dette har vi gjort i Eksempel 1, nemlig med
matricen B. Og vi f˚ar brug for den inverse til matrix B,
S˚a er
B −1 =
−8 6
3 −2
A 5 = B · Λ 5 · B −1 ,
ifølge (37). Da 2 5 = 32 og 3 5 = 243, er, for de aktuelle matricer A, B, B −1
og Λ
A 5 =
1 3
3/2 4
·
32 0
0 243
Eksempel 3. Betragt matricen
A =
·
.
−8 6
3 −2
3 1
0 3
.
=
1931 −1266
2532 −1656
Kan A diagonaliseres ? Hvis en matrix B diagonaliserer A, s˚a er, ifølge
Sætning 36, søjlerne i B egenvektorer for A; og B kræves at være invertibel.
Kan vi finde en invertibel 2 × 2 matrix B hvis søjler er egenvektorer for A?
Lad os først se hvordan egenvektorer b for A ser ud. Det karakteristiske
polynomium for A er (3 − λ) 2 , der har λ = 3 som sin eneste rod. Der er
alts˚a ikke andre egenværdier for A end tallet 3. Egenrummet hørende til
λ = 3 er løsningsrummet til det homogene lineære ligningssystem, der har
koefficientmatrix
3 − 3 1 0 1
= .
0 3 − 3 0 0
Løsningsrummet best˚ar af vektorer af form (t, 0). En 2 × 2 matrix B, der
har egenvektorer for A som sine søjler, ser alts˚a s˚adan ud:
t s
0 0
og en s˚adan matrix kan ikke være invertibel (dens determinant er 0).
Uden bevis skal det nævnes, at hvis egenrummet Eλ til en given egenværdi
har dimension 2 (dvs. der skal to parametre til at beskrive det, som i Eksempel
7 i §9, for λ = 1), s˚a er λ (mindst) dobbeltrod i det karakteristiske
polynomium. Derimod viser ovenst˚aende Eksempel 3, at man kan have en
,
.