Lineær Algebra Differentialligninger

10. DIAGONALISERING 67
og mere generelt
= B · Λ 3 · B −1 ,
A q = (B · Λ · B −1 ) q = B · Λ q · B −1 . (37)
Men det er let at regne q’te potens af en diagonalmatrix Λ ud: man har klart
⎡
⎢
⎣
λ1
λ2
. ..
λn
⎤
q
⎥
⎦
⎡
⎢
= ⎢
⎣
her drejer det sig kun om at opløfte visse tal (nemlig λ’erne) til q’te potens.
λ q
1
Eksempel 1. Betragt 2 × 2-matricen
11 −6
A =
12 −6
1) Angiv egenværdierne for A.
2) Angiv en egentlig egenvektor til hver af disse egenværdier.
3) Diagonaliser matricen A, dvs. angiv en invertibel matrix B, s˚a at B −1 ·A·B
er en diagonalmatrix. (Det er ikke nødvendigt at angive B −1 , men der ønskes
et argument for, at B er invertibel.)
Kommenteret besvarelse. Det karakteristiske polynomium ses at være
λ2 −5λ+6 ; rødderne heri er 2 og 3, som alts˚a er matricens egenværdier. Vi
søger nu egentlige egenvektorer til hver af disse to egenværdier. De findes,
lige som i Eksempel 2, ved løsning af lineære ligningssystemer; vi f˚ar f.eks.:
for λ = 2 vektoren (1, 3/2) (eller t · (1, 3/2), for t = 0), og for λ = 3 vektoren
(3, 4) (eller t · (3, 4), for t = 0). En brugbar matrix B til diagonalisering af
A er alts˚a
1 3
B =
3
2 4
(denne 2 × 2 matrix er invertibel, da dens determinant ses at være −1/2 ).
Vi kan gøre prøve ved at indse at ligning (34) faktisk er opfyldt: vi f˚ar:
11 −6 1 3 2 9 1 3 2
A · B =
· = = · = B · Λ,
12 −6
3 12
3
3
2 4
λ q
2
. ..
3
2 4
hvor Λ er diagonalmatricen med de to egenværdier 2 og 3 (i samme rækkefølge
som deres tilhørende egenvektorer var stillet op i matricen B).
λ q n
⎤
⎥
⎦ ;