Lineær Algebra Differentialligninger

66
Sætning 16 Givet en n × n matrix A. Antag, at b 1, . . ., b n er egentlige
egenvektorer for A med tilhørende egenværdier λ1, . . .,λn. Stilles b 1, . . ., b n
op som søjler i en matrix B, s˚a gælder
A · B = B · Λ, (36)
hvor Λ er den diagonalmatrix, hvis diagonalindgange er λ1, . . ., λn. Hvis B
er invertibel, vil den alts˚a diagonalisere A.
Omvendt, hvis (36) gælder for en matrix B (hvis søjler er egentlige vektorer),
og en diagonalmatrix Λ, s˚a er søjlerne i B egenvektorer for A, med
tilhørende egenværdier de respektive diagonalindgange i Λ.
Bevis. For at vise (36), er det nok at vise (for hvert i = 1, . . ., n) at den
i’te søjle p˚a venstre og højre side stemmer overens. Vi f˚ar den i’te søjle ved
at højre-multiplicere med søjlematricen e i, ifølge (30). Men vi har dels
A · B · e i = A · b i = λi · b i,
hvor vi har brugt, at b i var en egenvektor for A med egenværdi λi; og dels
har vi
B · Λ · e i = B · λi · e i = λi · B · e i = λi · b i.
Alts˚a stemmer i’te søjle i A·B overens med i’te søjle i B ·Λ, og da det gælder
for vilk˚arligt i = 1, . . .,n, er A · B = B · Λ. — Beviset for Sætningens sidste
(omvendte) udsagn overlades til læseren.
At finde en invertibel matrix B, hvis søjler er egenvektorer for en matrix A, er
ensbetydende med at finde en basis for vektorrummet R n best˚aende af egenvektorer
for A. (Basis-begrebet indføres i videreg˚aende lineær algebra.) For visse typer
matricer har man sætninger, der sikrer, at dette kan lade sig gøre; det gælder
f.eks. hvis A er en symmetrisk matrix, dvs. en matrix, der er “symmetrisk omkring
diagonalen”, dvs den ij’te indgang stemmer overens med den ji’te indgang.
Blandt de mange anvendelser af diagonalisering af kvadratiske matricer
nævner vi udregning af højere potenser A q af en kvadratisk matrix A. Dette
kan selvfølgelig altid lade sig gøre “ved h˚andkraft”, men det “blir .. mye
regning og liten forst˚aelse” (Gulliksen), jvf. de højere potenser af “Fibonacci’s
matrix” fra §2. Hvis derimod A kan diagonaliseres, som ovenfor, A = B · Λ ·
B −1 , s˚a er
A · A = (B · Λ · B −1 ) · (B · Λ · B −1 ) = B · Λ 2 · B −1 ,
idet man hæver parenteserne og lader B −1 og B i midten hæve hinanden; og
tilsvarende
A · A · A = (B · Λ · B −1 ) · (B · Λ · B −1 ) · (B · Λ · B −1 )