Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
1. KOORDINATVEKTORER 3<br />
P˚a grund af regnereglerne for tal kan udtrykkets værdi udregnes, uafhængig<br />
af hvordan man sætter parenteser o.l., og udtrykket har som værdi en<br />
ganske bestemt vektor i R n . Tit er det ikke nødvendigt at skelne mellem<br />
linearkombinationen som udtryk, p˚a den ene side, og dens værdi, p˚a den<br />
anden. (Lige som man heller ikke altid behøver at skelne mellem udtrykket<br />
2+2 og dets værdi 4.)<br />
Eksempel 3. Udtrykket 2(1, −3) + 3(3, 0) + 5(1, −1) er et eksempel p˚a<br />
en linearkombination af (sættet best˚aende af) de tre vektorer (1, −3), (3, 0)<br />
og (1, −1) i R 2 . Koefficienterne er 2, 3, 5; linearkombinationens værdi er<br />
(16, −11),<br />
2(1, −3) + 3(3, 0) + 5(1, −1) = (16, −11).<br />
Eksempel 4. Lad u, v og w være vektorer i et vektorrum, f.eks. R n . Vektorerne<br />
2u+3v+5w, 3u−w, u+v, u og 0 er alle eksempler p˚a linearkombinationer<br />
af u, v og w:<br />
2u + 3v + 5w = 2 · u + 3 · v + 5 · w<br />
3u − w = 3 · u + 0 · v + (−1) · w<br />
u + v = 1 · u + 1 · v + 0 · w<br />
0 = 0 · u + 0 · v + 0 · w<br />
En linearkombination af linearkombinationer af et sæt af vektorer er selv en<br />
linearkombination af vektorerne fra dette sæt. F.eks. er<br />
2 · (2u + 3v + 5w) + 4 · (3u − w) = 16u + 6v + 6w.<br />
Man taler ogs˚a om linearkombinationer af andre sammenhænge end i<br />
forbindelse med koordinatvektorer. F.eks. er den hyperbolske sinus funktion<br />
([S] s. 251) defineret som linearkombination af funktionerne e x og e −x , med<br />
koefficienter 1/2 og −1/2,<br />
sinh x = 1<br />
2 ex − 1<br />
2 e−x .<br />
Linearkombinationer af funktioner betegnes ogs˚a som superposition af funktioner.<br />
En anden sammenhæng, hvor man taler om linearkombinationer, er for<br />
geometriske vektorer, se [S] 9.2. I fig. 10 s. 654 er s˚aledes tegnet linearkombinationen<br />
af vektorerne a og b med koefficienter 1 og −2.<br />
Man kan ogs˚a danne linearkombinationer af reelle talfølger a1, a2, . . .. Der<br />
forekommer nogle eksempler i [S] s. 566. Reelle talfølger udgør hvad man<br />
kunne betegne R ∞ , i analogi med R n .<br />
.