Lineær Algebra Differentialligninger

1. KOORDINATVEKTORER 3
P˚a grund af regnereglerne for tal kan udtrykkets værdi udregnes, uafhængig
af hvordan man sætter parenteser o.l., og udtrykket har som værdi en
ganske bestemt vektor i R n . Tit er det ikke nødvendigt at skelne mellem
linearkombinationen som udtryk, p˚a den ene side, og dens værdi, p˚a den
anden. (Lige som man heller ikke altid behøver at skelne mellem udtrykket
2+2 og dets værdi 4.)
Eksempel 3. Udtrykket 2(1, −3) + 3(3, 0) + 5(1, −1) er et eksempel p˚a
en linearkombination af (sættet best˚aende af) de tre vektorer (1, −3), (3, 0)
og (1, −1) i R 2 . Koefficienterne er 2, 3, 5; linearkombinationens værdi er
(16, −11),
2(1, −3) + 3(3, 0) + 5(1, −1) = (16, −11).
Eksempel 4. Lad u, v og w være vektorer i et vektorrum, f.eks. R n . Vektorerne
2u+3v+5w, 3u−w, u+v, u og 0 er alle eksempler p˚a linearkombinationer
af u, v og w:
2u + 3v + 5w = 2 · u + 3 · v + 5 · w
3u − w = 3 · u + 0 · v + (−1) · w
u + v = 1 · u + 1 · v + 0 · w
0 = 0 · u + 0 · v + 0 · w
En linearkombination af linearkombinationer af et sæt af vektorer er selv en
linearkombination af vektorerne fra dette sæt. F.eks. er
2 · (2u + 3v + 5w) + 4 · (3u − w) = 16u + 6v + 6w.
Man taler ogs˚a om linearkombinationer af andre sammenhænge end i
forbindelse med koordinatvektorer. F.eks. er den hyperbolske sinus funktion
([S] s. 251) defineret som linearkombination af funktionerne e x og e −x , med
koefficienter 1/2 og −1/2,
sinh x = 1
2 ex − 1
2 e−x .
Linearkombinationer af funktioner betegnes ogs˚a som superposition af funktioner.
En anden sammenhæng, hvor man taler om linearkombinationer, er for
geometriske vektorer, se [S] 9.2. I fig. 10 s. 654 er s˚aledes tegnet linearkombinationen
af vektorerne a og b med koefficienter 1 og −2.
Man kan ogs˚a danne linearkombinationer af reelle talfølger a1, a2, . . .. Der
forekommer nogle eksempler i [S] s. 566. Reelle talfølger udgør hvad man
kunne betegne R ∞ , i analogi med R n .
.