Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
64<br />
Opgave 8. Angiv for hvert reelt tal a egenrummet E2 for matricen<br />
2 a<br />
0 2<br />
Opgave 9. Angiv egenværdierne og de tilhørende egenrum for matricen<br />
⎡<br />
1<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎣<br />
1 ⎥<br />
1 ⎦<br />
1<br />
med 0’er p˚a de ikke-afmærkede pladser. Facit: egenværdierne er λ = 1 og λ = −1.<br />
De tilhørende egenrum er henholdsvis span(e 1 ,e 2 ,e 3 + e 4 ) og span(e 3 − e 4 ). Eller:<br />
E1 = mængden af vektorer af form (r,s,t,t). E−1 = mængden af vektorer af form<br />
(0,0,t, −t).<br />
Opgave 10. Betragt matricen<br />
⎡<br />
A = ⎣<br />
1 −3 3<br />
0 −5 6<br />
0 −3 4<br />
1) Angiv samtlige egenvektorer hørende til egenværdien λ = 1 for A.<br />
2) Angiv samtlige egenværdier for A.<br />
10 Diagonalisering<br />
Den koordinatvektor i Rn , der har et 1-tal p˚a i’te plads og 0’er ellers, betegnes<br />
i det følgende e (n)<br />
i , eller blot ei , n˚ar n fremg˚ar af sammenhængen; vi kalder<br />
den (den i’te) standard-enhedsvektor. Den kan ogs˚a beskrives som i’te søjle<br />
i matricen I .<br />
n<br />
Vi vil i reglen tænke os ei skrevet som en søjlematrix, f.eks. i følgende<br />
observation:<br />
⎤<br />
⎦ .<br />
For en vilk˚arlig m×n matrix C gælder, at C ·e i<br />
er den i’te søjle i C.<br />
(Der er her tale om e i = e (n)<br />
i ; ellers ville matrix-produktet ikke give mening.)<br />
Dette er en direkte simpel udregning. Hvis c i betegner den i’te søjle i C, har<br />
vi alts˚a<br />
C · e i = c i. (30)<br />
Hvis C har en invers matrix C −1 , f˚ar vi, ved at venstre-multiplicere begge<br />
sider af denne matrixligning med C −1 , at<br />
e i = C −1 · c i . (31)<br />
<br />
.