Lineær Algebra Differentialligninger

64
Opgave 8. Angiv for hvert reelt tal a egenrummet E2 for matricen
2 a
0 2
Opgave 9. Angiv egenværdierne og de tilhørende egenrum for matricen
⎡
1
⎤
⎢
⎣
1 ⎥
1 ⎦
1
med 0’er p˚a de ikke-afmærkede pladser. Facit: egenværdierne er λ = 1 og λ = −1.
De tilhørende egenrum er henholdsvis span(e 1 ,e 2 ,e 3 + e 4 ) og span(e 3 − e 4 ). Eller:
E1 = mængden af vektorer af form (r,s,t,t). E−1 = mængden af vektorer af form
(0,0,t, −t).
Opgave 10. Betragt matricen
⎡
A = ⎣
1 −3 3
0 −5 6
0 −3 4
1) Angiv samtlige egenvektorer hørende til egenværdien λ = 1 for A.
2) Angiv samtlige egenværdier for A.
10 Diagonalisering
Den koordinatvektor i Rn , der har et 1-tal p˚a i’te plads og 0’er ellers, betegnes
i det følgende e (n)
i , eller blot ei , n˚ar n fremg˚ar af sammenhængen; vi kalder
den (den i’te) standard-enhedsvektor. Den kan ogs˚a beskrives som i’te søjle
i matricen I .
n
Vi vil i reglen tænke os ei skrevet som en søjlematrix, f.eks. i følgende
observation:
⎤
⎦ .
For en vilk˚arlig m×n matrix C gælder, at C ·e i
er den i’te søjle i C.
(Der er her tale om e i = e (n)
i ; ellers ville matrix-produktet ikke give mening.)
Dette er en direkte simpel udregning. Hvis c i betegner den i’te søjle i C, har
vi alts˚a
C · e i = c i. (30)
Hvis C har en invers matrix C −1 , f˚ar vi, ved at venstre-multiplicere begge
sider af denne matrixligning med C −1 , at
e i = C −1 · c i . (31)
.