Lineær Algebra Differentialligninger

More documents

Recommendations

Info

62 Lad f : U → U være en lineær afbildning fra et vektorrum U til sig selv. En egenvektor for f er en vektor u ∈ U s˚a at f(u) er proportional med u, alts˚a s˚a at der findes et tal λ (“proportionalitetsfaktor”, i denne forbindelse kaldet egenværdi) s˚a at f(u) = λ · u. (29) Eksempel 9. Betragt papirets plan, og gør det til et vektorrum ved at vælge et punkt O som udgangspunkt for regning med stedvektorer. Tegn en ret linie m gennem O. Lad f være den afbildning, der best˚ar i spejling i linien m. (Det er en lineær afbildning.) Hvis OP er en vektor p˚a m gælder f( OP) = OP(= 1 · OP), og alts˚a er OP en egenvektor for f, den tilhørende egenværdi λ er 1. Hvis derimod Q er et punkt s˚a at OQ er vinkelret p˚a m, s˚a er f( OQ) = (−1) · OQ, s˚a at OQ er en egenvektor for f med egenværdi −1. Hvis R er et punkt, s˚a at OR ikke ligger p˚a m og heller ikke er vinkelret p˚a m, s˚a er OR ikke en egenvektor for f. (Tegn alle de nævnte vektorer selv!) Eksempel 10. Lad U være vektorrummet R 2 , og lad f være den afbildning, der til (populationsvektoren for) en kaninbestand i én m˚aned tilordner (populationsvektoren for) kaninbestanden næste m˚aned (i Fibonaccis model). S˚a er (55,89) “næsten” en egenvektor, som det fremg˚ar af slutningen af Afsnit 2.1, idet f(55,89) = (89,144) som næsten er proportional med (55,89), med proportionalitetsfaktor 1.62, (89,144) ≃ 1.62 · (55,89). Eksempel 11. Betragt differentialoperatoren D : C ∞ (R) → C ∞ (R) givet ved y ↦→ y ′ . Betragt funktionen givet ved udtrykket e 5x . Det er en “vektor” i C ∞ (R), og er en egenvektor for D med egenværdi λ = 5, idet D(e 5x ) = 5 · e 5x . Eksempel 12. Betragt differentialoperatoren D ◦ D : C ∞ (R) → C ∞ (R) givet ved y ↦→ y ′′ (“differentiation to gange”). Funktionen sin (sinus-funktionen) er en egenvektor for denne differentialoperator, med egenværdi −1, idet D(D(sin)) = − sin (“sinus-funktionen, differentieret to gange, giver − sin”). Opgaver Opgave 1. Find egenværdierne og tilhørende egenvektorer for følgende matrix: 3 1 2 4
9. EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 63 Opgave 2. Find egenværdierne og tilhørende egenvektorer for følgende matrix: 7 5 −4 −2 Opgave 3. Find egenværdierne og tilhørende egenvektorer for følgende matrix: ⎡ ⎤ −2 −1 −5 ⎣ 1 2 1 ⎦ 3 1 6 Opgave 4. Find egenværdierne og tilhørende egenvektorer for følgende matrix: ⎡ ⎤ 2 1 −3 ⎣ 0 1 −1 ⎦ 0 0 0 Opgave 5. Find egenværdierne og tilhørende egenvektorer for følgende matrix: ⎡ 4 ⎤ 1 −5 ⎣ −5 2 5 ⎦ 1 1 −2 Opgave 6. Betragt matricen A givet ved ⎡ A = ⎣ Det oplyses, at λ = 5 er en egenværdi. 5 0 0 0 3 2 0 1 4 • A: Angiv samtlige egenvektorer for denne egenværdi. • B: Angiv endnu en egenværdi for A. Opgave 7. Betragt matricen ⎡ A = ⎣ ⎤ 3 0 0 0 3 3 0 −2 −4 1) Vis, at 3 er en egenværdi for A. 2) Det oplyses, at ogs˚a −3 er en egenværdi. Angiv en egentlig egenvektor hørende til denne egenværdi. 3) Angiv endnu en egenværdi for A. ⎦ . ⎤ ⎦ .
Page 1:
Lineær Algebra og Differentiallign
Page 5 and 6:
1. KOORDINATVEKTORER 1 Dette notes
Page 7 and 8:
1. KOORDINATVEKTORER 3 P˚a grund a
Page 9 and 10:
1. KOORDINATVEKTORER 5 span(u 1, u
Page 11 and 12:
2. MATRICER 7 med reelle tal. Rækk
Page 13 and 14:
2. MATRICER 9 Sætning 2 Givet en m
Page 15 and 16: 2. MATRICER 11 hvor enkeltlinier be
Page 17 and 18: 2. MATRICER 13 2.2 Kædereglen i ma
Page 19 and 20: 3. LINEÆRE FUNKTIONER 15 3 Lineær
Page 21 and 22: 3. LINEÆRE FUNKTIONER 17 et fast t
Page 23 and 24: 3. LINEÆRE FUNKTIONER 19 Bevis. La
Page 25 and 26: 4. INVERSE MATRICER 21 Hvis B er b
Page 27 and 28: 5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 23 et
Page 29 and 30: 5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 25 Den
Page 31 and 32: 5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 27 lig
Page 33 and 34: 5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 29 At
Page 35 and 36: 5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 31 4x1
Page 37 and 38: 6. LØSNINGSTEKNIK 33 der indsat i
Page 39 and 40: 6. LØSNINGSTEKNIK 35 ⎡ ⎣ 2 −
Page 41 and 42: 6. LØSNINGSTEKNIK 37 lutter 0’er
Page 43 and 44: 6. LØSNINGSTEKNIK 39 Eksempel 1. V
Page 45 and 46: 6. LØSNINGSTEKNIK 41 Opgaver Opgav
Page 47 and 48: 7. RÆKKEOPERATIONS-MATRICER OG INV
Page 53 and 54: 8. DETERMINANTER 49 2) Hvad er ledn
Page 55 and 56: 8. DETERMINANTER 51 det(I n ) = 1 E
Page 57 and 58: 8. DETERMINANTER 53 nederst”), m
Page 59 and 60: 9. EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 55
Page 65: 9. EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 61
Page 69 and 70: 10. DIAGONALISERING 65 Ved en diago
Page 71 and 72: 10. DIAGONALISERING 67 og mere gene
Page 73 and 74: 10. DIAGONALISERING 69 dobbeltrod (
Page 75 and 76: 10. DIAGONALISERING 71 Udregn speci
Page 77 and 78: 11. SKALARPRODUKT I R N 73 s˚a er
Page 79 and 80: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 75 udspæn
Page 81 and 82: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 77 Nævner
Page 83 and 84: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 79 Venstre
Page 85 and 86: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 81 12.1 Mi
Page 87 and 88: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 83 Med not
Page 89 and 90: 13. ANDRE SÆTNINGER OM SKALARPRODU
Page 91 and 92: 13. ANDRE SÆTNINGER OM SKALARPRODU
Page 93 and 94: 14. LINEÆR DIFFERENTIALLIGNING 89
Page 101 and 102: 15. LINEÆRT SYSTEM - 2 LIGNINGER 9
Page 111 and 112: 16. LINEÆRT SYSTEM - N LIGNINGER 1
Page 113 and 114: 16. LINEÆRT SYSTEM - N LIGNINGER 1
Page 115 and 116: 17. GENEREL LIGNING 111 Definition
Page 117 and 118:
18. STABILITET 113 Eksempel 3.[Eksp
Page 119 and 120:
18. STABILITET 115 Eksempel 1.[Logi
Page 121 and 122:
Index 1. ordens differentialligning
Page 123:
INDEX 119 skalarprodukt, 72 span, 4
show all

Lineær Algebra Differentialligninger

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?