Lineær Algebra Differentialligninger

62
Lad f : U → U være en lineær afbildning fra et vektorrum U til sig selv. En
egenvektor for f er en vektor u ∈ U s˚a at f(u) er proportional med u, alts˚a s˚a at
der findes et tal λ (“proportionalitetsfaktor”, i denne forbindelse kaldet egenværdi)
s˚a at
f(u) = λ · u. (29)
Eksempel 9. Betragt papirets plan, og gør det til et vektorrum ved at vælge et
punkt O som udgangspunkt for regning med stedvektorer. Tegn en ret linie m
gennem O. Lad f være den afbildning, der best˚ar i spejling i linien m. (Det er en
lineær afbildning.) Hvis OP er en vektor p˚a m gælder
f(
OP) =
OP(= 1 ·
OP),
og alts˚a er OP en egenvektor for f, den tilhørende egenværdi λ er 1. Hvis derimod
Q er et punkt s˚a at OQ er vinkelret p˚a m, s˚a er
f(
OQ) = (−1) ·
OQ,
s˚a at OQ er en egenvektor for f med egenværdi −1. Hvis R er et punkt, s˚a at OR
ikke ligger p˚a m og heller ikke er vinkelret p˚a m, s˚a er OR ikke en egenvektor for
f. (Tegn alle de nævnte vektorer selv!)
Eksempel 10. Lad U være vektorrummet R 2 , og lad f være den afbildning,
der til (populationsvektoren for) en kaninbestand i én m˚aned tilordner (populationsvektoren
for) kaninbestanden næste m˚aned (i Fibonaccis model). S˚a er
(55,89) “næsten” en egenvektor, som det fremg˚ar af slutningen af Afsnit 2.1, idet
f(55,89) = (89,144) som næsten er proportional med (55,89), med proportionalitetsfaktor
1.62, (89,144) ≃ 1.62 · (55,89).
Eksempel 11. Betragt differentialoperatoren D : C ∞ (R) → C ∞ (R) givet ved
y ↦→ y ′ . Betragt funktionen givet ved udtrykket e 5x . Det er en “vektor” i C ∞ (R),
og er en egenvektor for D med egenværdi λ = 5, idet
D(e 5x ) = 5 · e 5x .
Eksempel 12. Betragt differentialoperatoren D ◦ D : C ∞ (R) → C ∞ (R) givet
ved y ↦→ y ′′ (“differentiation to gange”). Funktionen sin (sinus-funktionen) er en
egenvektor for denne differentialoperator, med egenværdi −1, idet D(D(sin)) =
− sin (“sinus-funktionen, differentieret to gange, giver − sin”).
Opgaver
Opgave 1. Find egenværdierne og tilhørende egenvektorer for følgende matrix:
3 1
2 4