Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
9. EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 61<br />
I formel:<br />
A n ·<br />
1<br />
1<br />
<br />
= 2 n ·<br />
Tilsvarende for “populationsvektoren” (2, −1) (det er selvfølgelig en matematisk<br />
abstraktion, da man ikke kan have negative polulationer !)<br />
I formel<br />
<br />
2<br />
−1<br />
<br />
↦→ (−1) ·<br />
A n <br />
·<br />
2<br />
−1<br />
2<br />
−1<br />
1<br />
1<br />
<br />
.<br />
<br />
↦→ (−1) 2 <br />
·<br />
<br />
= (−1) n <br />
·<br />
2<br />
−1<br />
2<br />
−1<br />
<br />
.<br />
<br />
. . ..<br />
Pointen er nu, at hvis vi kan skrive en populationsvektor som linearkombination<br />
af egenvektorerne (1, 1) og (2, −1), s˚a kan vi beskrive denne<br />
populations udvikling gennem tid som den tilsvarende linearkombination af<br />
de to ovenfor beskrevne populationsudviklinger. (Afbildningen givet ved matricen<br />
A er jo lineær og derfor ombyttelig med linearkombinationer.) Lad os<br />
f.eks. betragte populationen (0, 1) (ingen unger, ét par voksne). Ved at løse<br />
et lineært ligningssystem finder vi, at koefficienterne, der skal bruges hertil,<br />
er 2/3 og -1/3; alts˚a<br />
S˚a er<br />
A n ·<br />
0<br />
1<br />
<br />
= 2<br />
3 ·<br />
<br />
1<br />
1<br />
<br />
+ −1<br />
3 ·<br />
<br />
2<br />
−1<br />
<br />
.<br />
<br />
0<br />
= A<br />
1<br />
n · ( 2<br />
3 ·<br />
<br />
1<br />
+<br />
1<br />
−1<br />
3 ·<br />
<br />
2<br />
−1<br />
= 2<br />
3 An <br />
1<br />
· +<br />
1<br />
−1<br />
3 An <br />
2<br />
·<br />
−1<br />
(fordi A n repræsenterer en lineær afbildning)<br />
= 2<br />
3 2n <br />
1<br />
·<br />
1<br />
<br />
+ −1<br />
3 (−1)n <br />
·<br />
Dette er et lukket udtryk for populationen efter n m˚aneder; sammenlign med<br />
de udregnede værdier ovenfor for n = 1, . . .,4.<br />
Opgave C. Udregn populationen efter 6 m˚aneder uden at udregne populationen<br />
over 5 m˚aneder.<br />
Egenværdi/egenvektor problemstillingen giver mening i større generalitet end<br />
koordinatvektorrum, f.eks. for geometriske vektorrum eller funktionsvektorrum<br />
2<br />
−1<br />
<br />
.<br />
<br />
)