Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
9. EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 59<br />
dvs. ligningssystemet<br />
−x1 +x3 = 0<br />
−x2 +x3 = 0<br />
2x1 −x2 −x3 = 0<br />
Som det fremg˚ar af beviset for Sætning 13, s˚a kan en kvadratisk matrix med determinant<br />
= 0 række-reduceres til en matrix med en nulrække nederst. Det homogene<br />
lineære ligningssystem, der skal løses for at finde egenvektorer hørende til en given<br />
egenværdi λ, kan alts˚a ogs˚a være et ligningssystem med en triviel ligning 0 = 0<br />
nederst, for λ var jo fundet s˚adan, at koefficient-matricen havde determinant = 0.<br />
I det ovenst˚aende ligningssystem f˚as s˚aledes en nul-ligning nederst ved at addere<br />
2 gange første ligning, og subtrahere anden lining, fra den nederste ligning.<br />
En partikulær løsning er f.eks. (x1, x2, x3) = (5, 5, 5), der er en egenvektor<br />
for matricen A hørende til egenværdien 2. Enhver vektor af form (t, t, t) (hvor<br />
t ∈ R) er faktisk en egenvektor. Det er faktisk en parameterfremstilling for<br />
mængden af samtlige egenvektorer for A hørende til egenværdien 2. (Man<br />
kan godt komme ud for, at der skal to eller flere parametre til at beskrive<br />
mængden af egenvektorer hørende til en given egenværdi for en given matrix.<br />
F.eks. er alle vektorer i R n egenvektorer med egenværdi 1 for matricen I n .)<br />
Opgave B. Det oplyses, at tallet 0 er egenværdi for matricen A fra Eksempel<br />
4 ovenfor. Find samtlige egentlige egenvektorer hørende til denne egenværdi.<br />
Eksempel 5. Vi vender tilbage til matricen F, som vi studerede i forbin-<br />
delse med Fibonaccis populationsmodel,<br />
nomium er −λ 1<br />
1 1 − λ<br />
der har rødder<br />
0 1<br />
1 1<br />
<br />
<br />
<br />
= λ2 − λ − 1,<br />
λ = 1 ± √ 5<br />
;<br />
2<br />
<br />
. Dens karakteristiske poly-<br />
disse to tal er alts˚a “Fibonacci-matricens” egenværdier. Den største af disse<br />
egenværdier er, med ni decimaler, 1.618033989. Vi har ovenfor allerede ob-<br />
serveret, at 1.62 “næsten” var en egenværdi. Tallet 1+√ 5<br />
2 er siden oldtiden<br />
blevet kaldt “det gyldne snit”.<br />
Eksempel 6. Vis, at 1 er den eneste egenværdi for enhedsmatricen I n . Vis,<br />
at enhver vektor i R n er egenvektor for I n hørende til egenværdien 1. Der<br />
skal alts˚a n parametre til at beskrive rummet af egenvektorer for I n hørende<br />
til egenværdien 1.