Lineær Algebra Differentialligninger

9. EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 59
dvs. ligningssystemet
−x1 +x3 = 0
−x2 +x3 = 0
2x1 −x2 −x3 = 0
Som det fremg˚ar af beviset for Sætning 13, s˚a kan en kvadratisk matrix med determinant
= 0 række-reduceres til en matrix med en nulrække nederst. Det homogene
lineære ligningssystem, der skal løses for at finde egenvektorer hørende til en given
egenværdi λ, kan alts˚a ogs˚a være et ligningssystem med en triviel ligning 0 = 0
nederst, for λ var jo fundet s˚adan, at koefficient-matricen havde determinant = 0.
I det ovenst˚aende ligningssystem f˚as s˚aledes en nul-ligning nederst ved at addere
2 gange første ligning, og subtrahere anden lining, fra den nederste ligning.
En partikulær løsning er f.eks. (x1, x2, x3) = (5, 5, 5), der er en egenvektor
for matricen A hørende til egenværdien 2. Enhver vektor af form (t, t, t) (hvor
t ∈ R) er faktisk en egenvektor. Det er faktisk en parameterfremstilling for
mængden af samtlige egenvektorer for A hørende til egenværdien 2. (Man
kan godt komme ud for, at der skal to eller flere parametre til at beskrive
mængden af egenvektorer hørende til en given egenværdi for en given matrix.
F.eks. er alle vektorer i R n egenvektorer med egenværdi 1 for matricen I n .)
Opgave B. Det oplyses, at tallet 0 er egenværdi for matricen A fra Eksempel
4 ovenfor. Find samtlige egentlige egenvektorer hørende til denne egenværdi.
Eksempel 5. Vi vender tilbage til matricen F, som vi studerede i forbin-
delse med Fibonaccis populationsmodel,
nomium er −λ 1
1 1 − λ
der har rødder
0 1
1 1
= λ2 − λ − 1,
λ = 1 ± √ 5
;
2
. Dens karakteristiske poly-
disse to tal er alts˚a “Fibonacci-matricens” egenværdier. Den største af disse
egenværdier er, med ni decimaler, 1.618033989. Vi har ovenfor allerede ob-
serveret, at 1.62 “næsten” var en egenværdi. Tallet 1+√ 5
2 er siden oldtiden
blevet kaldt “det gyldne snit”.
Eksempel 6. Vis, at 1 er den eneste egenværdi for enhedsmatricen I n . Vis,
at enhver vektor i R n er egenvektor for I n hørende til egenværdien 1. Der
skal alts˚a n parametre til at beskrive rummet af egenvektorer for I n hørende
til egenværdien 1.