Lineær Algebra Differentialligninger

58
Bemærkning 2. Det kan let vises, at n’te grads leddet i det karakteristiske
polynomium for en n × n matrix er ±λ n (+ hvis n er lige, ellers −), og at
konstantleddet netop er determinanten af matricen. Endelig kan det vises,
at koefficienten til λ n−1 er ± sporet af matricen (− hvis n er lige, ellers +),
hvor sporet af en kvadratisk matrix er defineret som summen af diagonalindgangene.
Disse oplysninger er nyttige til kontrol for regnefejl i udregning af
karakteristisk polynomium.
Eksempel 3. Betragt matricen
⎡
A = ⎣
1 0 1
0 1 1
2 −1 1
Dens karakteristiske polynomium er determinanten
1 − λ 0 1
0 1 − λ 1
2 −1 1 − λ
= (1 − λ) 1 − λ 1
−1 1 − λ − 0 0 1
2 1 − λ + 1
der udregnes til
⎤
⎦.
0 1 − λ
2 −1
(1 − λ)((1 − λ) 2 + 1) − 2(1 − λ) = −λ 3 + 3λ 2 − 2λ, (28)
der har rødder λ = 0, 1 og 2, som alts˚a er egenværdierne for matricen A.
Bemærkning 3. Det er let at lave regnefejl (specielt fortegnsfejl) i udregningen
af det karakteristiske polynomium. Hastværk er lastværk. I ovenst˚aende
udregning kunne man skyde en regnemæssig genvej (og dermed nedsætte
fejl-risikoen) ved at observere, at i (28) indg˚ar faktoren (1 − λ) i begge led
p˚a venstre side, og den kan alts˚a sættes uden for en parentes. Dermed har
man ogs˚a med det samme den oplysning, at tallet 1 er rod i polynomiet, og
alts˚a en egenværdi.
Eksempel 4. Det oplyses, at tallet 2 er egenværdi for matricen
⎡ ⎤
1 0 1
A = ⎣ 0 1 1 ⎦.
2 −1 1
Find en tilhørende egenvektor. Det kommer ud p˚a at løse det homogene
lineære ligningssystem
(1 − 2)x1 +0x2 +1x3 = 0
0x1 +(1 − 2)x2 +1x3 = 0
2x1 −1x2 +(1 − 2)x3 = 0