Lineær Algebra Differentialligninger

9. EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 57
Eksempel 2. Betragt 2 × 2-matricen A fra Eksempel 1,
A =
3 3
−2 −4
Vi ved allerede fra Eksempel 1, at tallet 2 er en egenværdi. Hvilke andre tal
er egenværdier for denne matrix? Ifølge Sætning 14 er et tal λ en egenværdi
hvis og kun hvis determinanten
er 0. Den udregnes til
3 − λ 3
−2 −4 − λ
.
(3 − λ) · (−4 − λ) − 3 · (−2) = λ 2 + λ − 6.
Det er et andengrads-polynomium i λ. Det har rødder λ = 2 og λ = −3.
Disse to tal er alts˚a egenværdierne for matricen.
En egenvektor hørende til egenværdien −3 kan findes ved at løse det
homogene lineære ligningssystem
eller
(3 − (−3))x1 +3x2 = 0
−2x1 +(−4 − (−3))x2 = 0
6x1 +3x2 = 0
−2x1 −1x2 = 0
. (27)
En partikulær egentlig løsning er f.eks. x1 = −1, x2 = 2, s˚a at alts˚a vektoren
(−1, 2) er en egenvektor for A hørende til egenværdien −3.
Vi fandt i ovenst˚aende eksempel, at de mulige egenværdier for den givne
2×2-matrix A var rødderne i et vist 2.grads polynomium i λ, nemlig det(A−
λI 2 ). Helt generelt kan man vise, at hvis A er en n × n-matrix, s˚a er
det(A − λI n ) et n’te grads polynomium i λ. Dette polynomium kaldes det
karakteristiske polynomium for matricen A. Sætning 14 kan alts˚a formuleres:
Egenværdierne for en (kvadratisk) matrix er
præcis rødderne i dens karakteristiske polynomium.
Da et n’te grads polynomium højst har n rødder, følger det, at en n × n
matrix højst har n egenværdier.