Lineær Algebra Differentialligninger

56
hvor vi p˚a højre side, lige som p˚a venstre side, har holdt de n forskellige
ubekendte i hver sin søjle, for overskuelighedens skyld. I hver af de n ligninger
trækker vi nu højre siden fra venstre siden, s˚a at der kommer 0’er p˚a højre
siden, i hver af ligningerne. Det fremkomne ligningssystem (der selvfølgelig
er ækvivalent med det oprindelige) er:
(a11 − λ)x1 +a12x2 + . . . +a1nxn = 0
a21x1 +(a22 − λ)x2 + . . . +a2nxn = 0
.
an1x1 +an2x2 + . . . +(ann − λ)xn = 0
Dette er nu tydeligvis et homogent lineært ligningssystem p˚a n ligninger
med n ubekendte. Dets løsninger x er løsningerne til (26), og dermed er
de præcis egenvektorerne hørende til λ. Koefficientmatricen ses at være
den matrix, der er fremkommet af A ved at trække tallet λ fra i hver af
de n “diagonal-indgange”, dvs. trække λ fra de indgange, der har adresser
(1, 1), (2, 2), . . .(n, n). At λ er en egenværdi er ensbetydende at dette
ligningssystem har en egentlig løsning. Men for kvadratiske homogene lineære
ligningssystemer har vi determinantkriteriet (Sætning 13) for hvorn˚ar der
findes egentlige løsninger; derfor f˚ar vi
Sætning 14 Lad der være givet en n × n matrix A og et tal λ. S˚a er λ en
egenværdi for matricen hvis og kun hvis determinanten af den matrix, der
fremkommer af A ved at trække λ fra hver af de n diagonal-indgange, er 0.
Bemærkning 1. Der findes andre m˚ader at finde eller approximere egenværdier
p˚a: determinanter er ikke egnet til praktisk regning for store (kvadratiske)
matricer.
Matricen, der fremkommer af A ved at trække λ fra hver af de n diagonalindgange,
betegnes ogs˚a kort A − λ · I n .
Da mængden af egenvektorer hørende til λ er løsningsmængde til et vist
homogent lineært ligningssystem, f˚ar vi umiddelbart ud fra Sætning 7:
Sætning 15 Lad λ være en egenværdi for en n×n matrix A. S˚a er mængden
af egenvektorer for A, hørende til λ, et lineært underrum af R n . (Dette
underrum kaldes egenrummet hørende til egenværdien λ for A.)
Læg mærke til, at et egenrum for en egenværdi λ altid indeholder en
vektor = 0. For vi har jo defineret “λ er en egenværdi” s˚adan, at der findes
egentlige egenvektorer hørende til λ. Egenrummet for en given egenværdi λ
vil man ofte betegne Eλ.