Lineær Algebra Differentialligninger

2
Eksempel 1. P˚a mange madvarer i handelen vil man finde anført en 3dimensional
koordinatvektor, der angiver procentindholdet (vægtprocent) i
varen, af henholdsvis protein, fedt og kulhydrat. F.eks. anføres p˚a Skovhuggerbrød
fra Dagligvaregruppen, Vejle, den information, at 100 g af varen
indeholder 6g protein, 2g fedt og 45g kulhydrat; alts˚a 6% protein, 2% fedt
og 45% kulhydrat (vægtprocenter); denne information kan stilles op i en
vektor (6,2,45). Tilsvarende anføres p˚a uhomogeniseret letmælk fra mejeriet
“Pilegaarden” vektoren (3.6,1.5,4.5). Koordinatvektorer med denne betydning
kunne man kalde (specifikke) ernæringsvektorer 1 . Sammensætter man
et m˚altid af en vis mængde brød og letmælk af de nævnte mærker, f˚ar man
ialt en vis totalmængde protein, fedt og kulhydrat, som kan stilles op i en
vektor, som man kunne kalde m˚altidets absolutte ernæringsvektor. Best˚ar
m˚altidet f.eks af 150 gram brød og 200 gram letmælk, alts˚a 1.5×100g og
2×100g, f˚as den absolutte ernæringsvektor for det p˚agældende m˚altid som
kombinationen
1.5 · (6 , 2 , 45) + 2 · (3.6 , 1.5 , 4.5)
= (9 + 7.2 , 3 + 3 , 67.5 + 9) = (16.2 , 6 , 76.5).
(Det er et eksempel p˚a en linearkombination.) M˚altidet indeholder alts˚a 16.2
gram protein, 6 gram fedt og 76.5 gram kulhydrat.
Eksempel 2. Man kunne ogs˚a have brug for, til de samme varer, at stille
4-dimensionale koordinatvektorer op; den fjerde koordinat kunne referere til
varens procentuelle vandindhold (vægtprocent). For skovhuggerbrød er der
sandsynligvis 43 procent vand, s˚a at den 4-dimensionale vektor bliver (6,2,45,
43).
Se ogs˚a margin-bemærkningen i [S] s. 656.
1.1 Linearkombinationer
• Lad u 1, . . .,u k være et sæt af k vektorer i vektorrummet R n , og lad
λ1, . . .,λk være et sæt af k tal (skalarer). S˚a kaldes udtrykket
λ1 · u 1 + . . . + λk · u k
en linearkombination, mere præcis, en linearkombination af vektorerne
u 1, . . ., u k med koefficienter λ1, . . .,λk.
(Sommetider udelader man “multiplikationstegnet” ·, og skriver alts˚a bare
λ1u 1 + . . . + λku k.)
1 hjemmelavet betegnelse. ‘Specific’ refererer til at det er ‘gram pr. 100 g ’.