Lineær Algebra Differentialligninger

9. EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 55
og s˚a ville begrebet ‘egenværdi’ være et tomt begreb. – I nogle fremstillinger
af lineær algebra er en egenvektor pr. konvention en egentlig vektor.
Eksempel 1. Vektoren (−3, 1) er en egenvektor for 2 × 2 matricen A =
3 3
; den tilhørende egenværdi er 2. Thi
−2 −4
3 3 −3 −6 −3
· = = 2 · .
−2 −4 1 2 1
Hvis en vektor u er en egenvektor for en matrix A, med tilhørende
egenværdi λ, s˚a er, for vilk˚arligt tal c, ogs˚a c · u en egenvektor for A, med
tilhørende egenværdi λ:
A · (c · u) = c · (A · u) = c · (λ · u) = λ · (c · u).
Det følger af elementære regneregler for matricer. Men vi kan sige lidt mere:
se Sætning 15 nedenfor.
−1 −2
Opgave A. Betragt matricen givet ved A = . For hver af
4 5
følgende vektorer skal man afgøre, om de er egenvektorer for A; for dem, der
er egenvektorer, skal man angive den tilhørende egenværdi: u1 = (4, −4), u2 =
(1, 2), u3 = (−1, 2), u4 = (−10, 20). (Af typografiske grunde er disse vektorer
skrevet som rækkevektorer i stedet for som søjlevektorer.)
Givet en n×n-matrix. Vi skal stille og besvare to spørgsm˚al. 1) Hvordan
ser man p˚a et tal λ om det er en egenværdi for matricen ? 2) Antag, at vi
ved, at tallet λ er en egenværdi for matricen, hvordan finder vi s˚a tilhørende
egenvektorer ? Vi begynder med spørgsm˚al 1.
Hvordan ser man p˚a et tal λ om det er en egenværdi for en given n × n
matrix A ? Pr. definition betyder det, at der findes en egentlig egenvektor,
dvs. en egentlig x ∈ R n (x = (x1, . . .,xn)) med A · x = λ · x; det betyder
igen, at ligningssystemet
A · x = λ · x (26)
har en egentlig løsning x. Dette ligningssystem er et let kamufleret lineært
ligningssystem – (kamuflagen er, at de ubekendte xi’er optræder p˚a begge
sider af lighedstegnet). Lad os skrive ligningssystemet helt ud (indgangene i
matricen A betegnes aij):
a11x1 +a12x2 + . . . +a1nxn = λx1
a21x1 +a22x2 + . . . +a2nxn = λx2
.
an1x1 +an2x2 + . . . +annxn = λxn
. ..