Lineær Algebra Differentialligninger

54
Opgave 4. Angiv et tal λ s˚a at matricen
−λ 1
1 1 − λ
har determinant = 0.
Opgave 5. Angiv et tal a, s˚a at følgende (homogene, kvadratiske) lineære ligningssystem
har uendelig mange løsninger:
2x +y +az = 0
x +2y +3z = 0
4x +y +2z = 0
Opgave 6. Angiv for hvert reelt tal λ løsningsmængden til det homogene lineære
ligningssystem
3x + (1 + λ)y = 0
2x + 4y = 0
Opgave 7. Angiv for hvert reelt tal λ løsningsmængden til det homogene lineære
ligningssystem
(3 − λ)x + y = 0
2x + (4 − λ)y = 0
9 Egenværdier og egenvektorer
Vi skal her præsentere teorien for egenvektorer for lineære afbildninger mellem
koordinatvektorrum; disse afbildninger kan angives ved matricer, som
beskrevet i §3.
Lad A være en n × n-matrix. En egenvektor for A er en vektor u ∈ R n ,
s˚a at matrixproduktet A · u (u skrevet op som søjlematrix) er proportionalt
med u, alts˚a s˚a at der findes et tal λ, s˚a at
A · u = λ · u. (25)
Hvis u = 0, kaldes λ egenværdien 4 hørende til egenvektoren u, og u kaldes
en (egentlig) egenvektor hørende til egenværdien λ.
N˚ar man siger, at tallet λ er en egenværdi for matricen A, mener man,
at der findes en egentlig vektor u, som er en egenvektor med tilhørende
egenværdi λ. Hvis ikke man lagde den indskrænkning p˚a u at den er egentlig,
ville ethvert tal λ kvalificere som egenværdi, med 0 som egenvektor,
λ0 = 0 = A · 0,
4 bortset fra det trivielle tilfælde hvor u = 0, er λ entydigt bestemt ved u; thi hvis
A · u = λ1 · u = λ2 · u og u = 0, s˚a er λ1 = λ2.