Lineær Algebra Differentialligninger

8. DETERMINANTER 53
nederst”), m˚a der s˚a gælde, at A ved rækkeoperationer kan føres over i identitetsmatricen
I, og det vil sige at A er invertibel (med produktet af de
anvendte rækkeoperations-matricer som invers, som vist i §7).
Bevis for Sætning 13. Sætningens to p˚astande er ved simpel logik ensbetydende
med de to p˚astande:
1) Hvis determinanten er 0, s˚a har ligningssystemet en egentlig løsning.
2) Hvis determinanten er = 0, s˚a har ligningssystemet kun nul-løsningen.
Bevis for 1). Hvis det(A) = 0, s˚a har ogs˚a enhver matrix, der fremkommer
af A ved rækkeoperationer determinant =0. (Det følger igen af produktreglen
for determinanter, og det faktum at rækkeoperationer p˚a A best˚ar i at
multiplicere A med rækkeoperationsmatricer.) S˚a kan A alts˚a ikke rækkereduceres
til identitetsmatricen. Iflg. “enten-eller-princippet” (22) kan A
alts˚a rækkereduceres til en matrix A ′ med en nulrække nederst. Alts˚a er der
mindst én pivotfri søjle i A ′ , og det tilhørende homogene ligningssystem har
alts˚a uendelig mange løsninger, jvf. Sætning 9; specielt er der en egentlig
løsning. Men ligningssystemerne A · x = 0 og A ′ · x = 0 er ækvivalente (har
samme løsningsmængde).
Bevis for 2). Hvis det(A) = 0, s˚a er A en invertibel matrix, ifølge Sætning
12, vi kan alts˚a betragte dens inverse matrix, A −1 . Hvis nu x er en løsning
til ligningssystemet A · x = 0, s˚a gælder
x = I · x = A −1 · A · x = A −1 · 0 = 0;
alts˚a er x = 0, der alts˚a er den eneste løsning til A · x = 0.
Opgaver
Opgave 1. Vis, at hvis man i en kvadratisk matrix adderer et multiplum af
en række til en anden, s˚a ændres determinanten ikke. (Vink: determinanten af
en rækkeoperationsmatrix svarende til en s˚adan rækkeoperation, er 1; brug nu
produktreglen for determinanter.)
Opgave 2. Vis: Hvis en kvadratisk matrix har to ens rækker, s˚a er dens determinant
= 0. (Vink: brug Opgave 1.)
Opgave 3. Udregn determinanten af følgende 5 × 5 matrix (0’er p˚a de ikkeafmærkede
pladser):
⎡
⎤
1 3 4 −5 7
⎢
⎣
2 1
3
2 3 ⎥
1 0 ⎥
−1 8 ⎦
4 3
.