Lineær Algebra Differentialligninger

52
Sætning 11 (Produktreglen for determinanter.) For to kvadratiske matricer
A og B af samme størrelse gælder
det(A · B) = det(A)det(B).
(24)
Vi skal ikke vise denne sætning; for matricer af størrelse 2 × 2 eller 3 × 3
er den let at verificere ved direkte udregning (bogstavregning); men det lærer
man ikke ret meget af. – Der gælder ikke nogen tilsvarende pæn formel for
det(A + B).
Af produktreglen ser vi, at hvis A og B er to matricer (kvadratiske, af
samme størrelse) med det(A) = 0 og det(B) = 0, s˚a er ogs˚a det(A · B) = 0.
Af produktreglen følger ogs˚a, at hvis A er en invertibel (kvadratisk) matrix,
s˚a er determinanten = 0; thi hvis B er den inverse til A, s˚a gælder
det(A)det(B) = det(A · B) = det(I) = 1,
alts˚a tallene det(A) og det(B) er hinandes reciprokke, og s˚a kan ingen af dem
være 0. Omvendt skal vi nu vise, at hvis determinanten af en (kvadratisk)
matrix er = 0, s˚a er matricen invertibel; og vi skal vise et beslægtet resultat
om kvadratiske homogene ligningssystemer. Disse to sætninger kalder
man sommetider determinant-kriterier p˚a invertibilitet, hhv. p˚a løsbarhed af
kvadratiske ligningssystemer.
Sætning 12 (“Determinant-kriterium.”) En kvadratisk matrix er invertibel
hvis og kun hvis dens determinant er = 0.
Sætning 13 (“Determinant-kriterium for ligningssystemer”) Et homogent
lineært kvadratisk ligningssystem A · x = 0 har en egentlig løsning, dvs. en
løsning x = 0, hvis og kun hvis det(A) = 0.
Bevis for Sætning 12. Vi har allerede set, at hvis A er invertibel, s˚a
gælder det(A) = 0. Antag omvendt det(A) = 0. Vi udfører rækkeoperationer
p˚a A. Rækkeoperationer best˚ar i at multiplicere til venstre med rækkeoperationsmatricer,
og hver af dem har determinant = 0. S˚a enhver matrix,
der fremkommer af A ved rækkeoperationer, har ogs˚a determinant = 0. S˚a
kan der ikke fremkomme en matrix med en nulrække nederst, thi en s˚adan
matrix har determinant 0 (udvikl den efter sidste række !). Iflg. “enteneller”-princippet
(22), hvor vi nu har udelukket den ene mulighed (“nulrække