Lineær Algebra Differentialligninger

8. DETERMINANTER 49
2) Hvad er ledningsevnen for det samlede netværk mellem A og B ? (Vink:
strømmen i hvert ledningsstykke er = spændingsforskellen gange ledningsevnen
(eller : spændingsforskellen divideret med modstanden). Den samlede
strøm, der forlader A er alts˚a (20−x)3+(20−y)6, og da spændingsforskellen
mellem A og B er 10, er ledningsevnen alts˚a
1
((20 − x)3 + (20 − y)6)).
10
(Hvis spænding, som her, m˚ales i volt, og ledningsevne i Ohm −1 , bliver
strømmen udtrykt i Ampere.)
3) Stykket (modstanden) i stykket BY skiftes nu ud med en variabel
modstand. Hvad skal ledningsevnen u i BY være, for at X og Y f˚ar samme
spænding ?
8 Determinanter
Man kan definere determinanten af en vilk˚arlig kvadratisk matrix; determinanten
er et tal. For 2 × 2 og 3 × 3 matricer er definitionen og nogle
vigtige egenskaber givet i [S] s. 670-671. Vi gentager definitionerne, men
med sædvanlig “dobbelt-index” notation aij for indgangene i en matrix. Med
denne notation er
a11
a12
= a11a22 − a12a21
og
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11
a21 a22
a22 a23
a32 a33
− a12 a21 a23
a31 a33
+ a13
a21 a22
a31 a32
Læg mærke til, at definitionen af determinant af en 3 × 3 matrix bygger
p˚a, at vi allerede har defineret determinant af 2 × 2 matricer. Mere generelt
vil definitionen af determinant af en n × n matrix bygge p˚a definitionen af
determinant af (n−1)×(n−1)-matricer. Det er en s˚akaldt induktiv definition.
Læg mærke til, at de lodrette streger, der betegner “determinant af”,
ikke er “numerisk-tegn”; og læg mærke til, at n˚ar vi skriver determinanten
af en matrix v.hj. af s˚adanne determinant-streger, s˚a forsvinder de firkantede
“matrix-parenteser”, for nemheds skyld, alts˚a f.eks.
a11
a12 a11 a12
i stedet for
.
a21 a22
a21 a22
.