Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
8. DETERMINANTER 49<br />
2) Hvad er ledningsevnen for det samlede netværk mellem A og B ? (Vink:<br />
strømmen i hvert ledningsstykke er = spændingsforskellen gange ledningsevnen<br />
(eller : spændingsforskellen divideret med modstanden). Den samlede<br />
strøm, der forlader A er alts˚a (20−x)3+(20−y)6, og da spændingsforskellen<br />
mellem A og B er 10, er ledningsevnen alts˚a<br />
1<br />
((20 − x)3 + (20 − y)6)).<br />
10<br />
(Hvis spænding, som her, m˚ales i volt, og ledningsevne i Ohm −1 , bliver<br />
strømmen udtrykt i Ampere.)<br />
3) Stykket (modstanden) i stykket BY skiftes nu ud med en variabel<br />
modstand. Hvad skal ledningsevnen u i BY være, for at X og Y f˚ar samme<br />
spænding ?<br />
8 Determinanter<br />
Man kan definere determinanten af en vilk˚arlig kvadratisk matrix; determinanten<br />
er et tal. For 2 × 2 og 3 × 3 matricer er definitionen og nogle<br />
vigtige egenskaber givet i [S] s. 670-671. Vi gentager definitionerne, men<br />
med sædvanlig “dobbelt-index” notation aij for indgangene i en matrix. Med<br />
denne notation er<br />
<br />
<br />
<br />
a11<br />
<br />
a12 <br />
<br />
= a11a22 − a12a21<br />
og<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a11 a12 a13<br />
a21 a22 a23<br />
a31 a32 a33<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= a11<br />
<br />
<br />
a21 a22<br />
a22 a23<br />
a32 a33<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
− a12 a21 a23<br />
a31 a33<br />
<br />
<br />
<br />
+ a13<br />
<br />
a21 a22<br />
a31 a32<br />
Læg mærke til, at definitionen af determinant af en 3 × 3 matrix bygger<br />
p˚a, at vi allerede har defineret determinant af 2 × 2 matricer. Mere generelt<br />
vil definitionen af determinant af en n × n matrix bygge p˚a definitionen af<br />
determinant af (n−1)×(n−1)-matricer. Det er en s˚akaldt induktiv definition.<br />
Læg mærke til, at de lodrette streger, der betegner “determinant af”,<br />
ikke er “numerisk-tegn”; og læg mærke til, at n˚ar vi skriver determinanten<br />
af en matrix v.hj. af s˚adanne determinant-streger, s˚a forsvinder de firkantede<br />
“matrix-parenteser”, for nemheds skyld, alts˚a f.eks.<br />
<br />
<br />
<br />
a11<br />
<br />
<br />
a12 a11 a12 <br />
<br />
i stedet for <br />
.<br />
a21 a22<br />
a21 a22<br />
<br />
<br />
<br />
.