Lineær Algebra Differentialligninger

More documents

Recommendations

Info

48 20 ◦ Find værelsernes temperatur. ❩ ❩❩❩❩❩❩❩ 3 5 10 ◦ ✁ ✁✁✁✁✁✁✁ ❆ 4 ❆ ❆ 20 ❆ 6 6 ❆ ❆ ❆ ❆ ◦ 10◦ 4. Stationære elektriske strømme. I et elektrisk netværk med modstande er spændingen i hvert knudepunkt et vægtet gennemsnit af spændingen i hvert af nabopunkterne; vægtningsfaktoren er ledningsevnen i ledningsstykket mellem knudepunkterne. (“Ledningsevne” er det reciprokke til modstanden.) Betragt et netværk (Wheatstones bro) med fire knudepunkter A, B, X, Y X • • • ❅ ❅❅❅❅ ❅ ❅❅❅❅ A B • Y og ledningsevner AX: ledningsevne 3 BX: ledningsevne 5 AY : ledningsevne 6 BY : ledningsevne 6 XY : ledningsevne 4 Det antages, at A og B har spænding henholdsvis 20 og 10 volt; denne spænding tænkes opretholdt af uudtømmelige strømkilder (antydet ved de vandrette “ledninger”). 1) Beregn spændingen x og y i de to knudepunkter X og Y . De to følgende delspørgsm˚al kan besvares uafhængigt af hinanden.
8. DETERMINANTER 49 2) Hvad er ledningsevnen for det samlede netværk mellem A og B ? (Vink: strømmen i hvert ledningsstykke er = spændingsforskellen gange ledningsevnen (eller : spændingsforskellen divideret med modstanden). Den samlede strøm, der forlader A er alts˚a (20−x)3+(20−y)6, og da spændingsforskellen mellem A og B er 10, er ledningsevnen alts˚a 1 ((20 − x)3 + (20 − y)6)). 10 (Hvis spænding, som her, m˚ales i volt, og ledningsevne i Ohm −1 , bliver strømmen udtrykt i Ampere.) 3) Stykket (modstanden) i stykket BY skiftes nu ud med en variabel modstand. Hvad skal ledningsevnen u i BY være, for at X og Y f˚ar samme spænding ? 8 Determinanter Man kan definere determinanten af en vilk˚arlig kvadratisk matrix; determinanten er et tal. For 2 × 2 og 3 × 3 matricer er definitionen og nogle vigtige egenskaber givet i [S] s. 670-671. Vi gentager definitionerne, men med sædvanlig “dobbelt-index” notation aij for indgangene i en matrix. Med denne notation er a11 a12 = a11a22 − a12a21 og a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11 a21 a22 a22 a23 a32 a33 − a12 a21 a23 a31 a33 + a13 a21 a22 a31 a32 Læg mærke til, at definitionen af determinant af en 3 × 3 matrix bygger p˚a, at vi allerede har defineret determinant af 2 × 2 matricer. Mere generelt vil definitionen af determinant af en n × n matrix bygge p˚a definitionen af determinant af (n−1)×(n−1)-matricer. Det er en s˚akaldt induktiv definition. Læg mærke til, at de lodrette streger, der betegner “determinant af”, ikke er “numerisk-tegn”; og læg mærke til, at n˚ar vi skriver determinanten af en matrix v.hj. af s˚adanne determinant-streger, s˚a forsvinder de firkantede “matrix-parenteser”, for nemheds skyld, alts˚a f.eks. a11 a12 a11 a12 i stedet for . a21 a22 a21 a22 .
Page 1: Lineær Algebra og Differentiallign
Page 5 and 6: 1. KOORDINATVEKTORER 1 Dette notes
Page 7 and 8: 1. KOORDINATVEKTORER 3 P˚a grund a
Page 9 and 10: 1. KOORDINATVEKTORER 5 span(u 1, u
Page 11 and 12: 2. MATRICER 7 med reelle tal. Rækk
Page 13 and 14: 2. MATRICER 9 Sætning 2 Givet en m
Page 15 and 16: 2. MATRICER 11 hvor enkeltlinier be
Page 17 and 18: 2. MATRICER 13 2.2 Kædereglen i ma
Page 19 and 20: 3. LINEÆRE FUNKTIONER 15 3 Lineær
Page 21 and 22: 3. LINEÆRE FUNKTIONER 17 et fast t
Page 23 and 24: 3. LINEÆRE FUNKTIONER 19 Bevis. La
Page 25 and 26: 4. INVERSE MATRICER 21 Hvis B er b
Page 27 and 28: 5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 23 et
Page 29 and 30: 5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 25 Den
Page 31 and 32: 5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 27 lig
Page 33 and 34: 5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 29 At
Page 35 and 36: 5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 31 4x1
Page 37 and 38: 6. LØSNINGSTEKNIK 33 der indsat i
Page 39 and 40: 6. LØSNINGSTEKNIK 35 ⎡ ⎣ 2 −
Page 41 and 42: 6. LØSNINGSTEKNIK 37 lutter 0’er
Page 43 and 44: 6. LØSNINGSTEKNIK 39 Eksempel 1. V
Page 45 and 46: 6. LØSNINGSTEKNIK 41 Opgaver Opgav
Page 47 and 48: 7. RÆKKEOPERATIONS-MATRICER OG INV
Page 49 and 50: 7. RÆKKEOPERATIONS-MATRICER OG INV
Page 51: 7. RÆKKEOPERATIONS-MATRICER OG INV
Page 55 and 56: 8. DETERMINANTER 51 det(I n ) = 1 E
Page 57 and 58: 8. DETERMINANTER 53 nederst”), m
Page 59 and 60: 9. EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 55
Page 69 and 70: 10. DIAGONALISERING 65 Ved en diago
Page 71 and 72: 10. DIAGONALISERING 67 og mere gene
Page 73 and 74: 10. DIAGONALISERING 69 dobbeltrod (
Page 75 and 76: 10. DIAGONALISERING 71 Udregn speci
Page 77 and 78: 11. SKALARPRODUKT I R N 73 s˚a er
Page 79 and 80: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 75 udspæn
Page 81 and 82: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 77 Nævner
Page 83 and 84: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 79 Venstre
Page 85 and 86: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 81 12.1 Mi
Page 87 and 88: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 83 Med not
Page 89 and 90: 13. ANDRE SÆTNINGER OM SKALARPRODU
Page 91 and 92: 13. ANDRE SÆTNINGER OM SKALARPRODU
Page 93 and 94: 14. LINEÆR DIFFERENTIALLIGNING 89
Page 101 and 102: 15. LINEÆRT SYSTEM - 2 LIGNINGER 9
Page 103 and 104:
15. LINEÆRT SYSTEM - 2 LIGNINGER 9
Page 105 and 106:
Page 107 and 108:
Page 109 and 110:
Page 111 and 112:
16. LINEÆRT SYSTEM - N LIGNINGER 1
Page 113 and 114:
16. LINEÆRT SYSTEM - N LIGNINGER 1
Page 115 and 116:
17. GENEREL LIGNING 111 Definition
Page 117 and 118:
18. STABILITET 113 Eksempel 3.[Eksp
Page 119 and 120:
18. STABILITET 115 Eksempel 1.[Logi
Page 121 and 122:
Index 1. ordens differentialligning
Page 123:
INDEX 119 skalarprodukt, 72 span, 4
show all

Lineær Algebra Differentialligninger

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?