Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
1. KOORDINATVEKTORER 1<br />
Dette notesæt noter er beregnet til at bruges i “Calculus” kurset. Afsnit<br />
1-13 handler om <strong>Lineær</strong> <strong>Algebra</strong>, og er skrevet af Anders Kock; Afsnit 14-18<br />
handler om <strong>Differentialligninger</strong>, og er skrevet af Holger Andreas Nielsen.<br />
I <strong>Lineær</strong> <strong>Algebra</strong> delen er hovedvægten: matrix-regning, lineære ligningsystemer,<br />
egenværdi/egenvektor begrebet for kvadratiske matricer, samt<br />
ortogonal projektion. Noterne er beregnet til at blive brugt i forbindelse med<br />
lærebogen Stewart: Calculus - Concepts and Contects, 2nd ed., til hvilken<br />
der refereres med symbolet “[S]”.<br />
Koordinat-vektorrummene R n st˚ar i centrum af fremstillingen. Men af<br />
hensyn til den geometriske forst˚aelse og terminologi indg˚ar geometriske vektorrum<br />
og geometrisk vektor-regning ogs˚a i kurset. Det hentes fra lærebogen,<br />
[S] Kapitel 9 (som delvis er gymnasiestof). Dog skal det understreges, at begrebet<br />
“vektor-produkt” (= “kryds-produkt”, [S] 9.4) kun er til r˚adighed i<br />
dimension 3; derfor indg˚ar det ikke i noterne her, hvor vægten er p˚a de dele<br />
af teorien, der fungerer i alle dimensioner.<br />
1 Koordinatvektorer<br />
Lad n være et positivt helt tal, n = 1, 2, 3, . . . . En n-dimensional koordinatvektor<br />
er en liste, eller et n-tupel, (a1, a2, . . ., an) best˚aende af n reelle tal<br />
a1, a2, . . .,an. Disse n tal kaldes koordinatvektorens koordinater. Hvis n = 2,<br />
kaldes et n-tupel ogs˚a et (tal-)par, og for n = 3 et (tal-)tripel; et 1-tupel er<br />
det samme som et tal. Talpar kan som bekendt ved hjælp af et koordinatsystem<br />
identificeres med punkter i planen; 3-tupler (tripler) kan tilsvarende ved<br />
hjælp af et koordinatsystem identificeres med punkter i rummet, jvf. Kapitel<br />
9 i [S]. Hovedvægten i det følgende ligger p˚a ting, der ikke afhænger af denne<br />
geometriske tolkning, som jo ogs˚a kun er mulig for n = 2 og n = 3.<br />
Koordinatvektorer af samme dimension n kan adderes, og de kan multipliceres<br />
med reelle tal, i henhold til følgende fastsættelse (sml. s. 656 i [S]):<br />
(a1, a2, . . .,an) + (b1, b2, . . .,bn) := (a1 + b1, a2 + b2, . . .,an + bn)<br />
α · (a1, a2, . . .,an) := (α · a1, α · a2, . . ., α · an)<br />
De udgør det n-dimensionale (reelle) koordinatvektorrum, som ogs˚a betegnes<br />
R n . Vi vil ofte kort betegne et n-tupel (a1, a2, . . ., an) med et understreget<br />
bogstav, a = (a1, a2, . . ., an). Koordinatvektoren (0, 0, . . ., 0) kaldes nulvektoren<br />
eller Origo og betegnes 0. En vektor kaldes en egentlig vektor hvis den<br />
er = 0<br />
I [S], s. 648 betragtes s˚aledes R 3 , der i modsætning til f.eks. R 4 kan gives<br />
en geometrisk tolkning. – Men selv i dimension 3 er geometrisk tolkning ikke<br />
altid relevant:<br />
(1)