Lineær Algebra Differentialligninger

1. KOORDINATVEKTORER 1
Dette notesæt noter er beregnet til at bruges i “Calculus” kurset. Afsnit
1-13 handler om Lineær Algebra, og er skrevet af Anders Kock; Afsnit 14-18
handler om Differentialligninger, og er skrevet af Holger Andreas Nielsen.
I Lineær Algebra delen er hovedvægten: matrix-regning, lineære ligningsystemer,
egenværdi/egenvektor begrebet for kvadratiske matricer, samt
ortogonal projektion. Noterne er beregnet til at blive brugt i forbindelse med
lærebogen Stewart: Calculus - Concepts and Contects, 2nd ed., til hvilken
der refereres med symbolet “[S]”.
Koordinat-vektorrummene R n st˚ar i centrum af fremstillingen. Men af
hensyn til den geometriske forst˚aelse og terminologi indg˚ar geometriske vektorrum
og geometrisk vektor-regning ogs˚a i kurset. Det hentes fra lærebogen,
[S] Kapitel 9 (som delvis er gymnasiestof). Dog skal det understreges, at begrebet
“vektor-produkt” (= “kryds-produkt”, [S] 9.4) kun er til r˚adighed i
dimension 3; derfor indg˚ar det ikke i noterne her, hvor vægten er p˚a de dele
af teorien, der fungerer i alle dimensioner.
1 Koordinatvektorer
Lad n være et positivt helt tal, n = 1, 2, 3, . . . . En n-dimensional koordinatvektor
er en liste, eller et n-tupel, (a1, a2, . . ., an) best˚aende af n reelle tal
a1, a2, . . .,an. Disse n tal kaldes koordinatvektorens koordinater. Hvis n = 2,
kaldes et n-tupel ogs˚a et (tal-)par, og for n = 3 et (tal-)tripel; et 1-tupel er
det samme som et tal. Talpar kan som bekendt ved hjælp af et koordinatsystem
identificeres med punkter i planen; 3-tupler (tripler) kan tilsvarende ved
hjælp af et koordinatsystem identificeres med punkter i rummet, jvf. Kapitel
9 i [S]. Hovedvægten i det følgende ligger p˚a ting, der ikke afhænger af denne
geometriske tolkning, som jo ogs˚a kun er mulig for n = 2 og n = 3.
Koordinatvektorer af samme dimension n kan adderes, og de kan multipliceres
med reelle tal, i henhold til følgende fastsættelse (sml. s. 656 i [S]):
(a1, a2, . . .,an) + (b1, b2, . . .,bn) := (a1 + b1, a2 + b2, . . .,an + bn)
α · (a1, a2, . . .,an) := (α · a1, α · a2, . . ., α · an)
De udgør det n-dimensionale (reelle) koordinatvektorrum, som ogs˚a betegnes
R n . Vi vil ofte kort betegne et n-tupel (a1, a2, . . ., an) med et understreget
bogstav, a = (a1, a2, . . ., an). Koordinatvektoren (0, 0, . . ., 0) kaldes nulvektoren
eller Origo og betegnes 0. En vektor kaldes en egentlig vektor hvis den
er = 0
I [S], s. 648 betragtes s˚aledes R 3 , der i modsætning til f.eks. R 4 kan gives
en geometrisk tolkning. – Men selv i dimension 3 er geometrisk tolkning ikke
altid relevant:
(1)