Lineær Algebra Differentialligninger

7. RÆKKEOPERATIONS-MATRICER OG INVERSION 43
⎡
⎣
Overgangen fra (12) til (13) kan beskrives som en matrix-multiplikation:
1 0 0
−1.5 1 0
0 0 1
⎤ ⎡
⎦· ⎣
2 −2 −4 −6 −16
3 −2 −4 −3 −20
−2 5 12 21 34
Det er rimelig klart, at hvis
A · x = b
⎤
⎡
⎦ = ⎣
2 −2 −4 −6 −16
1 2 6 4
−2 5 12 21 34
er den matrix-teoretiske formulering af et ligningssystem, med højre-side b,
s˚a er
C · A · x = C · b
den matrix-teoretiske formulering af det ligningssystem, der fremkommer ved
rækkeoperationen “subtraher 1.5 gange første ligning fra den anden ligning”
(jvf. f.eks. overgangen fra ligningssystem (12) til ligningssystemet (13)).
Eksempler p˚a række-operations-matricer, svarende til de to andre typer
række-operationer, gives her:
⎡
⎣
0 1 0
1 0 0
0 0 1
svarende til ombytning af første og anden række, og, for a = 0
⎡ ⎤
a 0 0
⎣ 0 1 0 ⎦,
0 0 1
svarende til multiplikation af første række med a = 0.
Vi kan nu bevise Sætning 10. Antag at A er en kvadratisk matrix (lad os
sige m × m) med en højre invers matrix B. S˚a gælder, at ligningssystemet
A ·x = b har en løsning, uanset hvordan b ser ud. Thi x = B ·b er en løsning:
⎤
⎦,
A · B · b = I · b = b.
Alle ligningssystemer af form A·x = b er alts˚a konsistente. Som vi s˚a ovenfor,
betyder det, at A ikke ved rækkeoperationer føres over i en matrix med
en nulrække nederst. Ifølge “enten-eller” princippet (22) kan en kvadratisk
matrix enten føres over i identitetsmatricen, eller føres over i en matrix med
⎤
⎦.