Lineær Algebra Differentialligninger

6. LØSNINGSTEKNIK 39
Eksempel 1. Vi søger samtlige 3 × 2 matricer B, der opfylder A · B = I ,
2
hvor A er 2 × 3-matricen
2 1 −2
5 3 −4
(med andre ord, vi søger samtlige højre-inverse matricer til A). Betegnes de
3×2 = 6 indgange i B med x1, . . ., x6 , som angivet i nedenst˚aende opstilling,
er problemet alts˚a at bestemme x1, . . ., x6, s˚a at
2 1 −2
5 3 −4
⎡
· ⎣
x1 x4
x2 x5
x3 x6
⎤
⎦ =
1 0
0 1
Dette er opfyldt hvis hver af de fire indgange i 2 × 2 matricen A ·B stemmer
overens med de tilsvarende indgange i I 2 . Dette giver fire ligninger med seks
ubekendte: en ligning for hver af de fire indgange i den ønskede produktmatrix,
en ubekendt for hver af de seks indgange i den søgte matrix B :
2x1 +x2 −2x3 = 1
5x1 +3x2 −4x3 = 0
2x4 +x5 −2x6 = 0
5x4 +3x5 −4x6 = 1
løsningsmængden til dette ligningssystem har, som vi skal se, de 6-4=2 frihedsgrader,
som “tommelfingerreglen” lader os forvente.
Eksempel 2. Vi beskriver den fuldstændige løsning til den opgave, vi stillede
os i Eksempel 1; en parameterfremstilling for løsningsmængden er
(x1, x2, x3, x4, x5, x6) =
(3, −5, 0, −1, 2, 0) + s · (2, −2, 1, 0, 0, 0) + t · (0, 0, 0, 2, −2, 1).
Her er s og t parametre, og kan alts˚a vælges frit. Vælger vi f.eks s = 1 og
t = 1
2 f˚as
(3, −5, 0, −1, 2, 0) + (2, −2, 1, 0, 0, 0) + (0, 0, 0, 1, −1, 1
) =
2
= (5, −7, 1, 0, 1, 1
2 ).
Vi indsætter dette 6-tupel som x1, . . .,x6 i matrixligningen, hvilket giver
2 1 −2
5 3 −4
⎡
· ⎣
5 0
−7 1
1 1
2
⎤
⎦ =
1 0
0 1
,
;