Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
6. LØSNINGSTEKNIK 39<br />
Eksempel 1. Vi søger samtlige 3 × 2 matricer B, der opfylder A · B = I ,<br />
2<br />
hvor A er 2 × 3-matricen<br />
<br />
2 1 −2<br />
5 3 −4<br />
(med andre ord, vi søger samtlige højre-inverse matricer til A). Betegnes de<br />
3×2 = 6 indgange i B med x1, . . ., x6 , som angivet i nedenst˚aende opstilling,<br />
er problemet alts˚a at bestemme x1, . . ., x6, s˚a at<br />
2 1 −2<br />
5 3 −4<br />
⎡<br />
<br />
· ⎣<br />
x1 x4<br />
x2 x5<br />
x3 x6<br />
⎤<br />
⎦ =<br />
1 0<br />
0 1<br />
Dette er opfyldt hvis hver af de fire indgange i 2 × 2 matricen A ·B stemmer<br />
overens med de tilsvarende indgange i I 2 . Dette giver fire ligninger med seks<br />
ubekendte: en ligning for hver af de fire indgange i den ønskede produktmatrix,<br />
en ubekendt for hver af de seks indgange i den søgte matrix B :<br />
2x1 +x2 −2x3 = 1<br />
5x1 +3x2 −4x3 = 0<br />
2x4 +x5 −2x6 = 0<br />
5x4 +3x5 −4x6 = 1<br />
løsningsmængden til dette ligningssystem har, som vi skal se, de 6-4=2 frihedsgrader,<br />
som “tommelfingerreglen” lader os forvente.<br />
Eksempel 2. Vi beskriver den fuldstændige løsning til den opgave, vi stillede<br />
os i Eksempel 1; en parameterfremstilling for løsningsmængden er<br />
(x1, x2, x3, x4, x5, x6) =<br />
(3, −5, 0, −1, 2, 0) + s · (2, −2, 1, 0, 0, 0) + t · (0, 0, 0, 2, −2, 1).<br />
Her er s og t parametre, og kan alts˚a vælges frit. Vælger vi f.eks s = 1 og<br />
t = 1<br />
2 f˚as<br />
(3, −5, 0, −1, 2, 0) + (2, −2, 1, 0, 0, 0) + (0, 0, 0, 1, −1, 1<br />
) =<br />
2<br />
= (5, −7, 1, 0, 1, 1<br />
2 ).<br />
Vi indsætter dette 6-tupel som x1, . . .,x6 i matrixligningen, hvilket giver<br />
2 1 −2<br />
5 3 −4<br />
⎡<br />
<br />
· ⎣<br />
5 0<br />
−7 1<br />
1 1<br />
2<br />
⎤<br />
⎦ =<br />
1 0<br />
0 1<br />
<br />
<br />
,<br />
;