Lineær Algebra Differentialligninger

38
•
•
•
hvor de sorte pletter angiver pivot’erne (og fjerde søjle er pivot-fri); og her er
en tilsvarende skitse for ligningssystemet (19) (hvor tredie søjle er pivot-fri):
•
•
Bemærkning. En række-echelon-form for en matrix er ikke entydigt bestemt:
en given matrix kan i reglen bringes p˚a række-echelon form p˚a mange
m˚ader, og med forskellige slut-resultater. (F.eks. kunne man have begyndt
med at ombytte to af rækkerne.) Man kan dog vise, at der kun er én reduceret
række-echelon form for en given matrix.
Læg mærke til, at en kvadratisk matrix (lad os sige af størrelse n × n) p˚a
reduceret række-echelon form enten er identitetsmatricen I n , eller har en eller
flere nulrækker nederst. Vi opsummerer i følgende “enten-eller”-princip:
En kvadratisk matrix kan ved rækkeoperationer
• enten føres over i identitetsmatricen
• eller føres over i en matrix med en nulrække
nederst.
(De to muligheder kan vises at udelukke hinanden.)
Her er en anden oplysning, som kan hentes ud af løsnings-proceduren:
•
(22)
Sætning 9 Et homogent lineært ligningssystem, hvor der er flere ubekendte
end ligninger, har altid uendelig mange løsninger (og specielt har det altid en
ikke-triviel løsning).
Bevis. Der er flere ubekendte end der er ligninger. For koefficientmatricen
betyder det: der er flere søjler end rækker. Bringes matricen p˚a en
eller anden m˚ade p˚a række-echelon form, vil der være pivotfrie søjler, da der
jo højst er én pivot i hver række. Alts˚a indg˚ar der parametre i beskrivelsen
af ligningssystemet, der alts˚a har uendelig mange løsninger.
Ud fra Sætningerne 7 og 8 kan man tilsvarende indse: et konsistent inhomogent
lineært ligningssystem, hvor der er flere ubekendte end der er ligninger,
har altid uendelig mange løsninger.