Lineær Algebra Differentialligninger

6. LØSNINGSTEKNIK 37
lutter 0’er. For de lineære ligningssystemer, man kommer til at løse for at
finde egenvektorer, vil der endda nødvendigvis komme s˚adanne nulrækker, se
§9.
Et ligningssystem, hvis koefficientmatrix indeholder en nulrække, lad os
sige den i’te, og hvor der p˚a højre side, i samme række, st˚ar et tal bi = 0,
er klart inkonsistent. Thi den ligning i ligningssystemet, der svarer til den
p˚agældende række, er
0x1 + . . . + 0xn = bi,
og den har ingen løsning. Ved rækkereduktion af et inkonsistent lineært
ligningssystem vil der altid opst˚a en s˚adan nulrække med et nulforskelligt bi
p˚a højre side.
Omvendt, hvis en m × n matrix A ved rækkeoperationer kan føres over i
en matrix A ′ med en nulrække nederst, s˚a kan man finde en højre side b s˚a at
A·x = b er inkonsistent. Thi A ′ ·x = b ′ er inkonsistent hvis vi vælger b ′ til at
have n’te koordinat = 0, som vi lige har set. Hvis vi udfører rækkeoperationer
p˚a dette system A ′ · x = b ′ , vil det stadig være inkonsistent. Men hvis A kan
føres over i A ′ , s˚a kan A ′ ogs˚a føres “tilbage” over i A, og ligningssystemet
A ′ · x = b ′ (som var inkonsistent) føres s˚a ved disse operationer over i et
ligningssystem af form A · x = b. Da A ′ · x = b ′ og A · x = b er ækvivalente,
og A ′ · x = b ′ er inkonsistent, er ogs˚a A · x = b inkonsistent.
Vi præciserer nu begrebet “række-echelon form”: en matrix siges at være
p˚a række-echelon form hvis
• eventuelle nulrækker st˚ar nederst
• for de rækker, der ikke er nulrækker, rykker pivot’en til højre n˚ar
man g˚ar nedad
Matricen siges at være p˚a reduceret række-echelon form hvis yderligere
• alle pivot’er er 1
• ovenover (og nedenunder) hver pivot st˚ar lutter 0’er.
Ved hjælp af rækkeoperationer kan et ligningssystem omdannes til et,
hvor koefficientmatricen er p˚a række-echelon form, eller endda, om ønsket,
p˚a reduceret række-echelon form.
At en matrix er p˚a række-echelon form betyder, billedlig talt, at den
ser ud som en trappe, med 0’er under trappen, og nul-forskellige elementer
(pivot’erne) i “trappehjørnerne”. Her er en skitse, der svarer til (koefficientmatricen
for) ligningssystemet (15)