Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
6. LØSNINGSTEKNIK 37<br />
lutter 0’er. For de lineære ligningssystemer, man kommer til at løse for at<br />
finde egenvektorer, vil der endda nødvendigvis komme s˚adanne nulrækker, se<br />
§9.<br />
Et ligningssystem, hvis koefficientmatrix indeholder en nulrække, lad os<br />
sige den i’te, og hvor der p˚a højre side, i samme række, st˚ar et tal bi = 0,<br />
er klart inkonsistent. Thi den ligning i ligningssystemet, der svarer til den<br />
p˚agældende række, er<br />
0x1 + . . . + 0xn = bi,<br />
og den har ingen løsning. Ved rækkereduktion af et inkonsistent lineært<br />
ligningssystem vil der altid opst˚a en s˚adan nulrække med et nulforskelligt bi<br />
p˚a højre side.<br />
Omvendt, hvis en m × n matrix A ved rækkeoperationer kan føres over i<br />
en matrix A ′ med en nulrække nederst, s˚a kan man finde en højre side b s˚a at<br />
A·x = b er inkonsistent. Thi A ′ ·x = b ′ er inkonsistent hvis vi vælger b ′ til at<br />
have n’te koordinat = 0, som vi lige har set. Hvis vi udfører rækkeoperationer<br />
p˚a dette system A ′ · x = b ′ , vil det stadig være inkonsistent. Men hvis A kan<br />
føres over i A ′ , s˚a kan A ′ ogs˚a føres “tilbage” over i A, og ligningssystemet<br />
A ′ · x = b ′ (som var inkonsistent) føres s˚a ved disse operationer over i et<br />
ligningssystem af form A · x = b. Da A ′ · x = b ′ og A · x = b er ækvivalente,<br />
og A ′ · x = b ′ er inkonsistent, er ogs˚a A · x = b inkonsistent.<br />
Vi præciserer nu begrebet “række-echelon form”: en matrix siges at være<br />
p˚a række-echelon form hvis<br />
• eventuelle nulrækker st˚ar nederst<br />
• for de rækker, der ikke er nulrækker, rykker pivot’en til højre n˚ar<br />
man g˚ar nedad<br />
Matricen siges at være p˚a reduceret række-echelon form hvis yderligere<br />
• alle pivot’er er 1<br />
• ovenover (og nedenunder) hver pivot st˚ar lutter 0’er.<br />
Ved hjælp af rækkeoperationer kan et ligningssystem omdannes til et,<br />
hvor koefficientmatricen er p˚a række-echelon form, eller endda, om ønsket,<br />
p˚a reduceret række-echelon form.<br />
At en matrix er p˚a række-echelon form betyder, billedlig talt, at den<br />
ser ud som en trappe, med 0’er under trappen, og nul-forskellige elementer<br />
(pivot’erne) i “trappehjørnerne”. Her er en skitse, der svarer til (koefficientmatricen<br />
for) ligningssystemet (15)