Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
36<br />
én parameter for hver pivot-fri søjle i koefficient-matricen (medmindre<br />
ligningssystemet er inkonsistent, hvilket række-echelon formen ogs˚a vil<br />
afsløre).<br />
Vi siger, at et ligningssystem er p˚a række-echelon form, hvis koefficientmatricen<br />
er p˚a række-echelon form, som defineret nedenfor.<br />
Ligningssystemerne (15), (19), og (20) er p˚a række-echelon-form. Pivot’erne<br />
er de først opskrevne led (= 0) i hver ligning. Lad os f.eks. kigge nærmere<br />
p˚a (19). I (19) er det s˚aledes 2x1 i første ligning, x2 i anden og −3x4 i tredie<br />
ligning, der er pivot’er (bedre: det er de tilsvarende indgange i koefficientmatricen,<br />
der er pivot’er). Der er en pivot-fri søjle i (koefficient-matricen<br />
hørende til) (19), nemlig tredie søjle, svarende til den ubekendte x3, og den<br />
baglæns substitution gav da ogs˚a en beskrivelse af løsningsmængden med<br />
x3 = t som parameter, jvf. (21).<br />
Række-operationer er manipulationer af følgende art, som kan foretages<br />
p˚a et lineært ligningssystem eller en matrix. For lineære ligningssystemer er<br />
de:<br />
• 1) Ombytning af to af ligningerne i ligningssystemet<br />
• 2) Multiplikation af en af ligningerne med et tal = 0<br />
• 3) Addition af et multiplum af en ligning til en anden.<br />
For matricer, tilsvarende<br />
• 1) Ombytning af to af rækkerne<br />
• 2) Multiplikation af en af rækkerne med et tal = 0<br />
• 3) Addition af et multiplum af en række til en anden.<br />
Læg mærke til, at antallet af ligninger (hhv. rækker) ikke ændres ved<br />
brug af række-operationer.<br />
En pivot (“nøgleled”, “krumtap”) i en matrix er en indgang, som ikke er<br />
0, men hvor alle indgange til venstre for, i samme række, er =0. En nulrække<br />
i en matrix har ingen pivot’er; alle andre rækker har præcis én pivot, nemlig<br />
den første indgang = 0.<br />
Operationer af typen 2) kan bruges til at omdanne alle pivot’er a i en<br />
matrix til 1-taller (multiplicer den p˚agældende række med a −1 ). Man kan<br />
ogs˚a indkode den “baglænse substitution” ved hjælp af række-operationer;<br />
det best˚ar i, at man ved hjælp af operation 3) skaffer sig 0’er oven over alle<br />
pivot’er. Alt i alt kan man p˚a denne m˚ade skaffe en koefficientmatrix, der er<br />
p˚a reduceret række-echelon form, som præciseret nedenfor.<br />
I løbet af processen med at bringe et lineært ligningssystem p˚a rækkeechelon<br />
form, kan der opst˚a nogle rækker i koefficient-matricen, indeholdende