Lineær Algebra Differentialligninger

34
Idet vi regner som før (og for korthed springer (13) over), f˚ar vi
og videre
2x1 −2x2 −4x3 −6x4 = −16
x2 +2x3 +6x4 = 4
3x2 +6x3 +15x4 = 18
2x1 −2x2 −4x3 −6x4 = −16
x2 +2x3 +6x4 = 4
−3x4 = 6
(19)
Heraf følger, at ligningssystemet (18) bestemmer x4 entydigt, idet (19)
(der er ækvivalent med (18)) p˚a grund af sin sidste ligning tvinger os til at
konkludere x4 = −2. Den fuldstændige løsning til (19) (og dermed til (18))
f˚as igen ved baglæns substitution gennem ligningssystemet. Den fundne x4 =
−2 indsættes i de to øverste ligninger, hvorefter vi st˚ar med et ligningssystem
p˚a to ligninger med tre ubekendte x1, x2 og x3, nemlig
2x1 −2x2 −4x3 = −28
x2 +2x3 = 16
. (20)
Det er nu let at løse (20) med x3 som parameter: x1 = 2, x2 = 16 − 2x3.
Løsningen til (19) (eller (18)) kan alts˚a angives
x1 = 2
x2 = 16 −2t
x3 = t
x4 = −2
, (21)
eller i den kompakte “vektor-notation”, som ogs˚a blev brugt i (17):
x = (2, 16, 0, −2) + t · (0, −2, 1, 0).
Ved praktisk løsning kan man med fordel bruge en lidt forkortet notation
for ligningssystemerme (12) - (15), og de manipulationer, der blev brugt;
ligningssystemerne bliver nu til “augmenterede matricer”, “augmenteret” betyder
her, at sidste søjle er skilt fra de øvrige ved en lodret streg; sidste
søjle repræsenterer ligningssystemets højre side. (Ved et homogent lineært
ligningssystem bliver højre siden ved med at være 0, og kan udelades.) Notationen
taler iøvrigt for sig selv: