Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
6. LØSNINGSTEKNIK 33<br />
der indsat i den midterste ligning i (15) giver x2 +2·(3+ 3<br />
2 x4)+6x4 = 4 eller<br />
x2 = −2 − 9x4;<br />
indsættes de fundne udtryk for x2 og x3 sluttelig i første ligning i (15) f˚as,<br />
efter en smule regning,<br />
x1 = −4 − 3x4,<br />
s˚a at den fuldstændige løsning kan skrives med en parameter t = x4:<br />
x1 = −4 − 3t<br />
x2 = −2 − 9t<br />
x3 = 3 + 3<br />
2 t<br />
x4 = t<br />
. (16)<br />
Vi ser, at løsningsmængden er udtrykt med én parameter, nemlig t (= x4),<br />
i overensstemmelse med en “tommelfinger-regel” om, at antallet af parametre<br />
(antal frihedsgrader, dimension) af løsningsmængden er lig med antallet af<br />
ubekendte minus antallet af ligninger. Der skal en ekstra forudsætning p˚a,<br />
før denne tommelfinger-regel bliver til en matematisk sætning, nemlig at<br />
ligningerne er lineært uafhængige (et begreb, der behandles i videreg˚aende<br />
lineær algebra).<br />
Vi kan udtrykke løsningen mere kompakt under brug af den addition osv.,<br />
som vi har indført for koordinatvektorer (her: i R 4 ): nemlig<br />
x = (−4, −2, 3, 0) + t · (−3, −9, 3<br />
, 1), (17)<br />
2<br />
(med t som parameter). I mængdeteoretisk notation kan løsningsmængden<br />
beskrives<br />
{(−4, −2, 3, 0) + t · (−3, −9, 3<br />
, 1) | t ∈ R}.<br />
2<br />
Læg mærke til, at koordinatvektoren (−4, −2, 3, 0) her er en partikulær<br />
løsning til (12).<br />
Hvis man havde brugt en anden procedure - f.eks. sigtet efter at eliminere<br />
x4 først ell.l. - kunne man være endt op med en helt anden, lige s˚a korrekt,<br />
beskrivelse af samme løsningsmængde, men med f.eks. x1 som parameter.<br />
Lad os delvis gennemregne endnu et eksempel, der viser, at vi ikke altid<br />
frit kan vælge at have sidste variabel som parameter: systemet er som (12),<br />
bortset fra at en enkelt koefficient (fremhævet skrift) er ændret:<br />
2x1 −2x2 −4x3 −6x4 = −16<br />
3x1 −2x2 −4x3 −3x4 = −20<br />
−2x1 +5x2 +10x3 +21x4 = 34<br />
. (18)